[工學(xué)]現(xiàn)代控制理論第四章-文庫吧
2024-08-16 01:20 本頁面
【正文】 為有界，則稱穩(wěn)定。②若不僅有界，而且有收斂于原點，則稱漸近穩(wěn)定。③若無界，則稱不穩(wěn)定。167。4－2李亞普諾夫第一法通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于定常系統(tǒng)只需解出特征方程的根即可做出穩(wěn)定性判斷；對于非線性系統(tǒng)不是很嚴(yán)重的系統(tǒng)可通過線性化處理，然后根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)， (410)的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是陣所有特征值均具有負(fù)實部。系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性稱為內(nèi)部穩(wěn)定性，工程中更注重系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)對于有界輸入所引起的輸出是有界的，則稱系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點全部位于的左半平面。例： 解：① 特征值，故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。②由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 其傳遞函數(shù)的極點，位于S平面的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。另一極點被系統(tǒng)的零點對消了，在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒有被表現(xiàn)出來。這說明當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不出現(xiàn)零、極點對消現(xiàn)象，并且矩陣的特征值與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點相同，系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性相一致。二、 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (411)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，為平衡狀態(tài)。與是同維的矢量函數(shù)，對有連續(xù)的偏導(dǎo)函數(shù)。為討論系統(tǒng)在處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù)在的鄰域展開成泰勒級數(shù)，得： (412) (413)令，取式（4－12）的一次近似式，得系統(tǒng)線性化特征方程： ，式中 (414)①如果方程式（4－15）中系數(shù)矩陣的所有特征值都具有負(fù)實部，則原非線性系統(tǒng)式（4－12）在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與無關(guān)。②如果的特征值，至少有一個實部為零，系統(tǒng)處于臨界情況。系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于高階導(dǎo)數(shù)項，而不能由矩陣的特征值符號來確定。③如果的特征值至少有一個正實部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例：設(shè)系統(tǒng)方程：，分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有兩個平衡狀態(tài)：。在處線性化：，不穩(wěn)定。同理：在處線性化：，特征值為，實部為0，用線性方法沒結(jié)論，用第二法判別。注：在處，，。平衡點：。注：在處，，。平衡點：。167。4－3李亞普諾夫第二法李亞普諾夫定義一個正定的標(biāo)量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)的符號特征來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于一個給定系統(tǒng)，如果找到一個正定的標(biāo)量函數(shù)，是負(fù)定的，則這個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，叫做李亞普諾夫函數(shù)。實際上任何一個標(biāo)量函數(shù)只要滿足李氏穩(wěn)定性判據(jù)所假設(shè)的條件，均可作為李氏函數(shù)。1. 標(biāo)量函數(shù)的符號性質(zhì)設(shè)為由維矢量所定義的標(biāo)量函數(shù)，在處，恒有。在域中的任何非零矢量，如果成立：（1），稱為正定的。 例：。（2），稱為半正定的（或非負(fù)定）。 例：。（3），稱為負(fù)定的。 例：。（4），稱為半負(fù)定的（或非正定）。 例：。（5），則稱為不定的。 例：。例：① 設(shè) ，標(biāo)量函數(shù)為：。因為有，對于非零，比如，也使 ，所以為半正定的。② ，標(biāo)量函數(shù)為：。因為有，而且當(dāng)時，也使，因此為半正定。2. 二次型標(biāo)量函數(shù) (415)如果，則稱為實對稱矩陣。例：
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