[工學(xué)]現(xiàn)代控制理論第四章(已修改)
2025-08-29 01:20 本頁(yè)面
【正文】 第四章 穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法自動(dòng)控制系統(tǒng)最重要的特性是穩(wěn)定性問(wèn)題，如何判斷一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及怎樣改善其穩(wěn)定性乃是系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的一個(gè)首要問(wèn)題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—表示系統(tǒng)在遭受外界擾動(dòng)偏離原來(lái)的平衡狀態(tài)，而在擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)在原來(lái)的平衡狀態(tài)。早在1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家李亞普諾夫提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題為兩種方法，李亞普諾夫第一法和第二法。167。4－1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動(dòng)無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件與外界擾動(dòng)的大小有關(guān)。李亞普諾夫第二法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等的方法。系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)：設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為： （4－1）式中：——維狀態(tài)矢量，——與同維的狀態(tài)矢量，它是狀態(tài)矢量的各元素和時(shí)間的函數(shù)，為時(shí)變的非線性函數(shù)，如果不顯含，則為定常的非線性函數(shù)。在給定初始條件下，有唯一解： （4－2），為初始狀態(tài)。是從開始觀察的時(shí)間變量。上式是描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的軌跡。若系統(tǒng)式（4－1）存在狀態(tài)矢量，對(duì)所有，都使： （4－3）成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)是線性定常的： （4－4）當(dāng)為非奇異矩陣時(shí)，的解是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)；為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，通常可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，它們是由式（4－3）所確定的常數(shù)解。例： （45）有三個(gè)平衡狀態(tài)：，線性系統(tǒng)（定常）只有一個(gè)平衡點(diǎn)，非線性時(shí)變系統(tǒng)等有多個(gè)平衡點(diǎn)，應(yīng)分別討論。李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性：若用表示狀態(tài)矢量與平衡狀態(tài)的距離，用包含所有各點(diǎn)的一個(gè)球域表示以為中心，為半徑的超球體。 （46） ——為歐幾里德范數(shù)。 （4－7）當(dāng)很小時(shí)，則稱為的鄰域。若有，則意味著。若式（4－1）的解：， （4－8）則式（4－8）表明齊次方程式（4－1）由初態(tài)或短暫擾動(dòng)所引起的自由響應(yīng)是有界的。1. 對(duì)式（4－1）描述的系統(tǒng)對(duì)于任意選定的實(shí)數(shù)，卻對(duì)應(yīng)存在另一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足： ， （4－9）則稱平衡狀態(tài)為李氏意義下的穩(wěn)定，其中實(shí)數(shù)與有關(guān)，一般也與有關(guān)，如果與無(wú)關(guān)，稱這種平衡為一致穩(wěn)定。穩(wěn)定的平衡狀態(tài)及其狀態(tài)根軌跡2. 漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當(dāng)無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)，軌線不僅不超出，而且最終收斂于，則稱這種平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定是一個(gè)局部概念，確定某個(gè)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定并不意味著整個(gè)系統(tǒng)就能正常運(yùn)行。漸近穩(wěn)定區(qū)域越大，穩(wěn)定性能就越好。3. 大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。它的必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間只有一個(gè)平衡狀態(tài)點(diǎn)，對(duì)線性系統(tǒng)最為適用。對(duì)于非線性系統(tǒng)，使為漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)的球域一般是不大的，常稱為小范圍漸近穩(wěn)定。4. 不穩(wěn)定對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，不管多么小，由內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個(gè)軌線越過(guò)，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。總之，球域限制著初始狀態(tài)的取值，球域規(guī)定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的邊界。①若
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