[工學]現(xiàn)代控制理論第四章(已修改)
2025-08-29 01:20 本頁面
【正文】 第四章 穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法自動控制系統(tǒng)最重要的特性是穩(wěn)定性問題，如何判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及怎樣改善其穩(wěn)定性乃是系統(tǒng)分析與設計的一個首要問題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—表示系統(tǒng)在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，而在擾動消失后系統(tǒng)自身仍有能力恢復在原來的平衡狀態(tài)。早在1892年俄國數(shù)學家李亞普諾夫提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定性問題為兩種方法，李亞普諾夫第一法和第二法。167。4－1 李亞普諾夫關于穩(wěn)定性的定義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結構與參數(shù)，而與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動無關。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件與外界擾動的大小有關。李亞普諾夫第二法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等的方法。系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)：設所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為： （4－1）式中：——維狀態(tài)矢量，——與同維的狀態(tài)矢量，它是狀態(tài)矢量的各元素和時間的函數(shù)，為時變的非線性函數(shù)，如果不顯含，則為定常的非線性函數(shù)。在給定初始條件下，有唯一解： （4－2），為初始狀態(tài)。是從開始觀察的時間變量。上式是描述系統(tǒng)的運動狀態(tài)的軌跡。若系統(tǒng)式（4－1）存在狀態(tài)矢量，對所有，都使： （4－3）成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)是線性定常的： （4－4）當為非奇異矩陣時，的解是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)；為奇異矩陣時，系統(tǒng)將有無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，通?？捎幸粋€或多個平衡狀態(tài)，它們是由式（4－3）所確定的常數(shù)解。例： （45）有三個平衡狀態(tài)：，線性系統(tǒng)（定常）只有一個平衡點，非線性時變系統(tǒng)等有多個平衡點，應分別討論。李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性：若用表示狀態(tài)矢量與平衡狀態(tài)的距離，用包含所有各點的一個球域表示以為中心，為半徑的超球體。 （46） ——為歐幾里德范數(shù)。 （4－7）當很小時，則稱為的鄰域。若有，則意味著。若式（4－1）的解：， （4－8）則式（4－8）表明齊次方程式（4－1）由初態(tài)或短暫擾動所引起的自由響應是有界的。1. 對式（4－1）描述的系統(tǒng)對于任意選定的實數(shù)，卻對應存在另一實數(shù),使得當時，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足： ， （4－9）則稱平衡狀態(tài)為李氏意義下的穩(wěn)定，其中實數(shù)與有關，一般也與有關，如果與無關，稱這種平衡為一致穩(wěn)定。穩(wěn)定的平衡狀態(tài)及其狀態(tài)根軌跡2. 漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當無限增長時，軌線不僅不超出，而且最終收斂于，則稱這種平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定是一個局部概念，確定某個平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定并不意味著整個系統(tǒng)就能正常運行。漸近穩(wěn)定區(qū)域越大，穩(wěn)定性能就越好。3. 大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。它的必要條件是在整個狀態(tài)空間只有一個平衡狀態(tài)點，對線性系統(tǒng)最為適用。對于非線性系統(tǒng)，使為漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)的球域一般是不大的，常稱為小范圍漸近穩(wěn)定。4. 不穩(wěn)定對于某個實數(shù)和任意實數(shù)，不管多么小，由內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定?？傊?，球域限制著初始狀態(tài)的取值，球域規(guī)定了系統(tǒng)自由響應的邊界。①若
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