【正文】 成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。4. 不穩(wěn)定對于某個實數(shù)和任意實數(shù)，不管多么小，由內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。二、 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (411)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，為平衡狀態(tài)。對于一個給定系統(tǒng)，如果找到一個正定的標量函數(shù)，是負定的，則這個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，叫做李亞普諾夫函數(shù)。因為有，而且當時，也使，因此為半正定。 選，則。因而判據(jù)所給出的條件是充分必要的，因為設（或通過變換），若取，,顯然只有當全為負值時，才是正定的。只有當系統(tǒng)的極點落在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)的平衡點處才是大范圍漸近穩(wěn)定的。對所有，要求為正定這個條件過嚴。假設是矢量的標量函數(shù)，但不是時間的顯函數(shù)，有： 或?qū)懗桑?確定與的關系。3. 根據(jù)是負定或至少是半負定并滿足個旋度方程的條件，確定中余下的未知系數(shù)，由此得出的，可能會改變第二步算的，因此要重新校核的定號性質(zhì)。顯然前者選取的比后者要好，圖（4－9）所示陰影區(qū)域表示在條件下的穩(wěn)定范圍比前者窄的多。顯然不同的系數(shù)選擇法可能求出不同的。矢量沿曲線的積分只決定于積分路徑起點與終點的位置，積分與路徑無關。顯然，要使為正定，必須使主對角線上的所有元素不恒為零。實際上，、矩陣滿足上述條件與矩陣的特征值的絕對值小于1的條件完全等價，因而也是充要的。應用該判據(jù)時應注意以下幾點：①如果沿任意一條軌跡不恒等于零，那么可取半正定的。③若，則（或）為半正定的。 例：。注：在處。例： 解：① 特征值，故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定區(qū)域越大，穩(wěn)定性能就越好。系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)：設所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為： （4－1）式中：——維狀態(tài)矢量，——與同維的狀態(tài)矢量，它是狀態(tài)矢量的各元素和時間的函數(shù)，為時變的非線性函數(shù)，如果不顯含，則為定常的非線性函數(shù)。在給定初始條件下，有唯一解： （4－2），為初始狀態(tài)。3. 大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。②由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 其傳遞函數(shù)的極點，位于S平面的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。平衡點：。例：① 設 ，標量函數(shù)為：。④若，則（或）為半負定的。②如果取一個正定矩陣（或者沿任意軌跡不恒等于零，可取任意一個半正定矩陣）,并解，按照希爾維斯特判據(jù)判定的正定性，進而作出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結論。在具體應用判據(jù)時，可先給定一個正定實對稱矩陣，選，然后驗算由所確定的實對稱矩陣是否正定，從而做出穩(wěn)定性的討論。如果中不含，那么主對角線上相應的元素必須恒為零，則就不可能是正定的，因而也就不可能是漸近穩(wěn)定的。如從原點出發(fā)，沿任意積分路徑到達，其積分結果都相同。常把選成常數(shù)或時間的函數(shù)是方便的。157。2. 由按式 確定 。設非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的。這時有： 其中： （4－27）上述兩種方法是等價的。 ， ， 取 ， ，使為正定的實對稱矩陣，和。④上述判據(jù)所確定的條