[工學(xué)]現(xiàn)代控制理論第四章(存儲(chǔ)版)
【正文】 的極點(diǎn)相同，系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性相一致。解：系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)：。4－3李亞普諾夫第二法李亞普諾夫定義一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)的符號(hào)特征來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3），稱(chēng)為負(fù)定的。② ，標(biāo)量函數(shù)為：。③若半正定（非負(fù)定），則稱(chēng)為半正定。例：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，；這是個(gè)等幅的正弦振蕩系統(tǒng)，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。167。④上述判據(jù)所確定的條件與矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)部的條件等價(jià)。平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，必存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣。 ， ， 取 ， ，使為正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，和。假設(shè),對(duì)是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為： （421）系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是，任意給定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，使得下列矩陣： （422）為正定的。這時(shí)有： 其中： （4－27）上述兩種方法是等價(jià)的。 gradient——梯度；divergence——散度；rotation——旋度。設(shè)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的。要求滿(mǎn)足維廣義旋度方程： , （432）由所組成的雅可比矩陣： （433）必須是對(duì)稱(chēng)的。2. 由按式 確定 。這表明上述選擇的參數(shù)是允許的。157。解：設(shè)的梯度為： 選擇參數(shù)，試選， ∴ 如果使 或，則是負(fù)定的，因此，是和的約束條件。常把選成常數(shù)或時(shí)間的函數(shù)是方便的。最簡(jiǎn)單的積分路徑是采用以下逐點(diǎn)積分法： （430）設(shè)單位矢量：, , …, （431）式（4－30）中的積分路徑是從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始，沿著到達(dá)，再由這沿著到達(dá)，……，最后沿著到達(dá)。如從原點(diǎn)出發(fā)，沿任意積分路徑到達(dá)，其積分結(jié)果都相同。當(dāng)時(shí)，有所以，系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。如果中不含，那么主對(duì)角線上相應(yīng)的元素必須恒為零，則就不可能是正定的，因而也就不可能是漸近穩(wěn)定的。一、 雅可比(Jaccobi)矩陣法（亦稱(chēng)克拉索夫斯基（Krasovski）法）二者表達(dá)形式略有不同，但基本思路是一致的。在具體應(yīng)用判據(jù)時(shí)，可先給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，選，然后驗(yàn)算由所確定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是否正定，從而做出穩(wěn)定性的討論。為負(fù)定的， 為負(fù)定的。②如果取一個(gè)正定矩陣（或者沿任意軌跡不恒等于零，可取任意一個(gè)半正定矩陣）,并解，按照希爾維斯特判據(jù)判定的正定性，進(jìn)而作出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結(jié)論。在原點(diǎn)處系統(tǒng)為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。④若，則（或）為半負(fù)定的。①若正定，則稱(chēng)正定。例：① 設(shè) ，標(biāo)量函數(shù)為：。（2），稱(chēng)為半正定的（或非負(fù)定）。平衡點(diǎn)：。③如果的特征值至少有一個(gè)正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。②由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，位于S平面的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。167。3. 大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，則稱(chēng)這種平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。 （46） ——為歐幾里德范數(shù)。在給定初始條件下，有唯一解：
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