[工學]現(xiàn)代控制理論第四章-在線瀏覽
2024-09-27 01:20本頁面
【正文】 系統(tǒng)的零點對消了，在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒有被表現(xiàn)出來。二、 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (411)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，為平衡狀態(tài)。為討論系統(tǒng)在處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù)在的鄰域展開成泰勒級數(shù)，得： (412) (413)令，取式（4－12）的一次近似式，得系統(tǒng)線性化特征方程： ，式中 (414)①如果方程式（4－15）中系數(shù)矩陣的所有特征值都具有負實部，則原非線性系統(tǒng)式（4－12）在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與無關。系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于高階導數(shù)項，而不能由矩陣的特征值符號來確定。例：設系統(tǒng)方程：，分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。在處線性化：，不穩(wěn)定。注：在處。注：在處。167。對于一個給定系統(tǒng)，如果找到一個正定的標量函數(shù)，是負定的，則這個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，叫做李亞普諾夫函數(shù)。1. 標量函數(shù)的符號性質(zhì)設為由維矢量所定義的標量函數(shù)，在處，恒有。 例：。 例：。 例：。 例：。 例：。因為有，對于非零，比如，也使 ，所以為半正定的。因為有，而且當時，也使，因此為半正定。例： 對于二次型函數(shù)，若為實對稱矩陣，則必定存在正定矩陣，通過變換，使之化成正交矩陣。注：必須為正交矩陣，才有。②若負定，則稱負定。記作④若半負定，則稱半負定。3. 希爾維斯特判據(jù)設實對稱陣： ， ， (417)矩陣（或）確定符號性質(zhì)的充要條件是：①，則（或）為正定的。③若，則（或）為半正定的。⑤恒等于零，運動軌跡落在特定的曲面上，相當于非線性系統(tǒng)的極限環(huán)或線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定。 選，則?？杀３譃槟骋怀?shù)，系統(tǒng)運動狀態(tài)軌跡為一系列以原點為圓心、為半徑的圓（極限環(huán)或臨界穩(wěn)定）。 例：，選，當，,在時，不恒等于零；當，時，是狀態(tài)軌跡與圓相切的某一時刻上。在原點處為大范圍漸進穩(wěn)定⑦不穩(wěn)定例：注：， ， 選， (418)確定處不穩(wěn)定。4－4李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用 李亞普諾夫第二法不僅用于分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且對于線性時變及線性離散系統(tǒng)也能給出相應的穩(wěn)定性判據(jù)。取李氏函數(shù)為，為維正定實對稱矩陣。應用該判據(jù)時應注意以下幾點：①如果沿任意一條軌跡不恒等于零，那么可取半正定的。③為方便計算，取，的各位元素應滿足。因而判據(jù)所給出的條件是充分必要的，因為設（或通過變換），若取，,顯然只有當全為負值時，才是正定的。， 令，①；②；③ 解方程組得： 注：，；，；根據(jù)希爾維斯特判據(jù)：,；故而矩陣是正定的。而李氏函數(shù)為： 是正定的，所以。取，系統(tǒng)穩(wěn)定 二、 線性定常離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，為常系數(shù)非奇異矩陣。假設一個可能的李氏函數(shù)為：我們采用與之差來代替。因此為正定。實際上，、矩陣滿足上述條件與矩陣的特征值的絕對值小于1的條件完全等價，因而也是充要的。例：系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為：試確定平衡點處漸近穩(wěn)定的條件。只有當系統(tǒng)的極點落在
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