【正文】 ?????其中 是振動(dòng)物體的位移與地基激振動(dòng)位移之比 ??稱為 位移的傳遞率 例 4－ 13 求：汽車(chē)以速度 v=45km/h勻速前進(jìn)時(shí)，車(chē)體的垂 直振幅為多少？汽車(chē)的臨界速度為多少？ 已知：如圖為一汽車(chē)在波形路面行走的力學(xué)模型， 其中幅度的 d=25mm， 波長(zhǎng) l=5m， 汽車(chē)質(zhì) 量為 m=3000kg， 彈簧剛度系數(shù)為 k=294kN/m， 忽略阻尼。 2?結(jié)論 兩個(gè)自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率，這兩個(gè)固有頻率 只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動(dòng)的初始 條件無(wú)關(guān)。 求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 左側(cè)彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為 k=， 其質(zhì)量為 kg22201 ?m其質(zhì)量為 kg2 0 4 02 ?m0 1m /sv ?解： 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 視小車(chē)和重物為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 則系統(tǒng)動(dòng)能為 22121122ABT m v m v??其中 Avx?廣義坐標(biāo)：小車(chē)的水平位移 x 繩 AB偏離鉛直的角度 ?2 2 2 2 2 22 c o s 2 c o sB A r A rv v v v v x l x l? ? ? ?? ? ? ? ? ?)c o s2(21)(21 222221 ??? xllmxmmT ???? ????系統(tǒng)的勢(shì)能等于彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能的和 )c o s1(21 22 ???? glmkxV)co s(s i n 222 ?????? xllmTxlmT ????? ???????? ，??????? s i n)s i nco s()(dd 22 glmVxxllmTt ???????? ，????????? c o s)(0 221 ??? lmxmmxTxT ???????? ，kxxVlmlmxmmxTt ????????? ，???? s i nc o s)()(dd 22221 ??????偏角 很小， ? 1c oss in ?? ??? ， 并略去 2??如下線性微分方程組 ??????????00)( 221???glxkxlmxmm???????? （ a） 設(shè)上述方程組的解為 )s i n()s i n( ????? ???? tBtAx ， （ b） 將所設(shè)解（ b）代入式（ a）中 并令 21 mmm ??0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，（ c） 頻率方程為 0))(( 22222 ????? ???? lmlgmk或 01214 ????lmkglmklmg ??令 clmkgblm klmg ???11，024 ??? cb ??cbbcbb ?????? 222221 )2(2)2(2 ?? ，代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率為 r a d/ a d/ s8 3 21 ?? ?? ，12121221111 ???????????lglmmkAB22222222222 ????????????lglmmkAB0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，系統(tǒng)的兩個(gè)主振動(dòng)為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (222222222111111111????????????tAtAxtAtAx，（ d） 系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (22221111222111???????????tAtAtAtAx （ e） 現(xiàn)在來(lái)確定 4個(gè)數(shù)值 2121 ?? ， AA將式（ e）取一階導(dǎo)數(shù)得 ???????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s (222221111122221111???????????????tAtAtAtAx?? （ f） 初始條件： t=0時(shí) 0m / s100 00000 ????? ??? ?? ， xx將它們代入式（ e）和（ f）中 解得 021 ?? ??)()(122102121201 ??????? ?????????? AA ，因此 ,小車(chē)和重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ttx i i ??tt i i ???167。 由此可見(jiàn)兩個(gè)自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振頻率。 設(shè)如圖所示系統(tǒng)中， 21 kk ? 21 2mm ?20202 ?? ??? cdb ，其中 是沒(méi)有 時(shí) 110 mk?? 2m主質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率 實(shí)例： 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，0))(( 2222?????????cddbddcb????20222021 8 ???? ?? ，kHb ?01)(2112)(211)/1)(/1()/1)((220202220?????????????????????????cdbbdcbbA??????????1)(21121200???bBcddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??振幅比 αβ 隨頻率比 變化的關(guān)系曲線如圖所示 0/??22mkd ???即激振力頻率等于減振器 本身的固有頻率時(shí) 2m振幅 A=0 而振幅 B= 0b但與激振力反相位 此時(shí)質(zhì)量 振動(dòng)而主質(zhì)量 不動(dòng)， 2m 1m故稱為 動(dòng)力減振 如果一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)頻率不變的激振力作用而 發(fā)生振動(dòng)，則可在這振動(dòng)系統(tǒng)上安裝一個(gè)動(dòng)力減振器 來(lái)減小甚至消除這種振動(dòng)。 解： 電機(jī)機(jī)殼受迫振動(dòng)的角頻率為 2 π 2 π 50 π r a d /s60nf? ? ? ?螺桿的剛度系數(shù) k可由材料力學(xué)公式計(jì)算 有 33lElk ?其中 是螺桿截面慣性矩 4π64DI ?M P 5??E 是材料的彈性模量 l為懸臂桿的桿長(zhǎng) 減振器自身的固有頻率為 40 33 π64k E Dm m l????令 0?? ? 解得桿長(zhǎng) 4 5 43 32 2 23 π 3 2 .1 1 0 N /m m π ( 2 0 m m ) 1 0 0 0 3 4 2 m m6 4 6 4 5 k g ( 5 0 r a d /s ) πEDlm ?? ? ? ? ? ?? ? ???2。 此外還有沖擊減振器 如圖所示 例 4－ 17 已知：電機(jī)的轉(zhuǎn)速為 1500r/min， 由于轉(zhuǎn)子不平衡使機(jī)殼 發(fā)生較大的振動(dòng)，為減少機(jī)殼的振動(dòng)，機(jī)殼上安 裝數(shù)個(gè)如圖的動(dòng)力減振器，該減振器由一鋼制圓 截面彈性桿和兩個(gè)安裝在桿兩端重塊組成，桿的 中部固定在機(jī)殼上，重塊到中點(diǎn)的距離 l可用螺桿 來(lái)調(diào)節(jié)，重塊質(zhì)量為 m=5kg， 圓桿的直徑 D=20mm。 cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??當(dāng) 或 時(shí) 1?? ? 2?ddBA 21??? 或 dd 22??當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生各階共振時(shí)，受迫振動(dòng)是各階主振型。動(dòng)力減振器 如圖所示是一個(gè)無(wú)阻尼系統(tǒng) 在主質(zhì)量 上作用有激振力 1m tH ?s in小質(zhì)量 以剛度系數(shù)為 的彈簧與主質(zhì)量連接 2m2k可用來(lái)減小 的振動(dòng)，稱為 動(dòng)力減振器 。 已知：如圖起重機(jī)小車(chē)， 在質(zhì)心 A處用繩懸掛一重物 B， 設(shè)繩和彈簧質(zhì)量均忽略不計(jì)。 梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。 4－ 8 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 例子：汽車(chē)的振動(dòng) ??????????00)(221222221211xkxkxmxkxkkxm????上式是一個(gè)二階線性齊次微分方程組 兩個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 )()(122221221111xxkxmxxkxkxm???????????2212121mkdmkcmkkb ???? ，令 上列方程組的解為 00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，)s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，其中： A、 B是振幅； ω 為角頻率 將上式代入 0)s i n ()s i n ()s i n (0)s i n ()s i n ()s i n (22????????????????????????????tdBtdAtBtcBtbAtA00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，整理后得 0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，方程具有非零解 則方程的系數(shù)行列式必須等于零 022???????ddcb －－ 頻率行列式 0)()( 24 ????? cbddb ??－－系統(tǒng)的本征方程，稱為 頻率方程 )()2(2 22 2,1 cbddbdb ????? ??整理得 cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??其中第一根 較小，稱為 第一固有頻率 。 ,而頻率相同 0???s0crζ ???? cckHhb ??200 ?它們可以合成為一個(gè)同頻率的合力，合力的最大值為 222 m a xd2 m a xem a xN )()( ?cbkbFFF ????22m a xN ζ41 skbF ??它與激振力的力幅 H之比為 222222m a xNζ4)1(ζ41sssHF??????其中 η 稱為 力的傳遞率 在不同