【正文】 A的通量 37 sssn ds dn a ds a dn a ds a d???? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ????? ????? ???閉域 ?、 S上的物理量 ?、 一階偏導數連續(xù) a??拉普拉斯算子 22222 2 2x y z????? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ??線 /面 /體積分關系 若 S為 ?的封閉曲面且 為 dS的單位外法線向量 n?? ?2221111r z r zr r rr r r r ze e e e e er r z r r ze e ee e e e e er r r r r r r z r r r???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??2222222221111,1 1 1zr r r reer r z zr r r r r z??? ? ? ???? ? ????? ?????? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?2 V V V V? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?38 隨體導數及雷諾輸運定理 ?拉格朗日法和歐拉法 歐拉法 拉格朗日法 t1?t2時間段內 從某時刻始跟蹤每一流體質點 描述 其流動參數變化 t1時刻 描述某時刻流場中占據不同空間幾何位置 的 流體質點具有的流動參數分布 ?體系和控制體 體系 t1時刻 t2時刻 確定不變的流體質點集合 邊界隨流體運動且變化 邊 界 環(huán)境 體系 力 /能量 質量 t1時刻 t2時刻 邊 界 環(huán)境 控制體 力 /能量 /質量 相對空間坐標系固定不變的體積 流體質點隨時間流入 /流出該空間 控制體 39 ?隨體導數 /物質導數 用歐拉導數表示一個流體質點 /微團的拉格朗日變化率 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 2 1 2 11 12 1 2 111, , , , , ,x y z t x y z t x x y yxyz z t tzt????????????? ? ? ? ???????????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 高 階 項某流體質點具有的某物理量如 ? 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1l i m l i m l i m l i mt t t t t t t tx x y y z zt t x t t y t t z t t t?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21212121l im12ttDD t t ttt????????? 點 與 點 趨 向 重 合流體質點通過 1點時其具有的 ?隨時間變化率 拉格朗日變化率 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1l i m l i m l i mx y zt t t t t tx x y y z zV V Vt t t t t t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?隨體導數 /物質導數 流體質點速度 x y zD V V V VDt x y z t t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?隨體導數 算子 D VD t t???? ? ??????t??V?局部 或當地 偏導數 流體質點物理量因流動非定常性引起的隨時間變化率 遷移偏導數 存在梯度 的非均勻場中因質點 位置變化引起的物理量隨時間變化率 ? ?V VtVVt?????????? ????的最大變化率投影至 V方向 ??t時間內運動距離 ?t時間 =單位時間 ?變化率 小人兒低溫 ?遷移偏導數 屋里 ?屋外 小人兒低溫 ?局部偏導數 雪球 40 ?雷諾輸運定理 用歐拉導數表示一個流體體系的拉格朗日變化率 系統物理量 ? ?, , ,I x y z t d? ??????? ?22IdI V dVI e dI r V d????????????????????????????????????質量 動量 總能量 動量矩 ? (t) ? (t+?t) S S2 nVt??3 S1 ndA dA Vt??2 ?1 t時刻 控制體 ?=體系 ?(t) ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3100l im l imtttttI t t I t I t tI t tD I t I t t I tD dD t D t t t t t?? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? ????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ? ?1 2 1 2 3 3 1 3t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0l imtttI t t I t ddt t t?? ??????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ???第一項： 對控制體 ?不同時刻積分 ?t?0時 ?(t)???體系轉化為控制體且不隨 t變化 ? ? ? ?311120 0 0l im l im l imS SSt t ttV n d A I t tI t t V n d A V n d At t t??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? ??第二、三項 單位時間從 控制體 ?邊界 S S2移出和移入物理量 單位時間 控制體 ?邊界 S凈向外輸運物理量 考慮夾角關系 保證微體積為正 d tV ndA? ? ? ?AD d d V n d AD t t??????? ? ? ? ????? ??? ??某物理量系統導數 控制體 ?中所含物理量 ?增量 通過控制面 A流出相應物理量 單位時間內 41 某個流體質點 流體質點組成的 系統 所具有 的 物理量隨時間變化率即 拉格朗日變化率 以該物理量 歐拉導數 形式描述 歐拉場 歐拉場中的控制體 AD VD t tD d d V ndAD t t???? ????? ? ?????? ? ? ? ????? ??? ??雷諾輸運定理的不同形式 ? ?sAa n d s a dV n d A V d????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????? ??? ? ?D d V dD t t????????? ? ? ? ? ????????? ???令 F???? ? ? ? ? ? ? ?? ?00DFD D F DF d F V d F F V dD t D t D t D tD D FF d dD t D t? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????? ??? ?????? ???雷諾第二輸運定理 質量守恒 — 連續(xù)方程 ? ?V V V? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0DDd V V d V dD t t D t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ??? ???DD0 V V = 0D t D tD ddDt ????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ???學時