蒙特卡羅方法簡(jiǎn)介-資料下載頁
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【正文】 ，則其滿條件分布為 ? ?~ 0 ,1U?? ? ? ?? ?? ? ? ?222221[ 2 ]2 ( 1 )01222 ( 1 )0121| , 1111 , 1 , 1 , 2 , 2 , 11i i j jijx x x xijxxjx x ee N x i j????????????? ? ???????????? ? ? ? ??? ?221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21|,1x x x xx x e?????? ? ???? Gibbs 抽樣 思想：設(shè) 的密度為 ，任意固定 T?N，在給定 條件下，如下定義隨機(jī)變量 具有密度函數(shù) ，則對(duì)任一可測(cè)集 B， ? ?1 , nX X X? ? ?x?TTXx???? ? 39。39。139。 39。 , , 39。 : ,n T T TX X X X X X???? 而? ?39。|TTxx? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?39。 39。 39。 | 39。 39。 39。 39。T T TBBP X B x x x d x x d x B? ? ? ???? ? ? ???因而 X’的密度也是 。 ? ?x?上述過程定義了一個(gè)由 X到 X’的轉(zhuǎn)移核，且其相應(yīng)的平穩(wěn)分布是 π 。這樣構(gòu)造的 MCMC稱為 Gibbs抽樣。當(dāng) T只有一個(gè)元素時(shí)稱為單元素 Gibbs抽樣。 單元素 Gibbs抽樣具體步驟如下： 在給定起始點(diǎn) 后，假定第 t次迭代開始時(shí)的估計(jì)值為 ，則第 t次迭代分為如下 n步： （ 1）由滿條件分布 抽取 … … (i)由滿條件分布 抽取 。 … … (n)由滿條件分布 抽取 ? ? ? ? ? ?? ?0 0 01 , ... , nx x x?? ?1tx ?? ? ? ?? ?1112| , ... ,ttnx x x??? ??1tx? ? ? ? ? ? ? ?? ?111 1 1| , . . . , , . . . ,t t t ti i i nx x x x x???????tix? ? ? ?? ?11| , . . . ,ttnnx x x? ???tnx記 ，則 是平穩(wěn)分布為 π的 Markov鏈的實(shí)現(xiàn)值，其由 x到 x’的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為 ? ? ? ? ? ?? ?1 , . . . ,t t tnx x x?? ? ? ? ? ?12, , , ,tx x x? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 3 1 1, 39。 39。 | , .. ., 39。 | 39。 , , .. ., .. . 39。 | 39。 , .. ., 39。n n n np x x x x x x x x x x x x? ? ? ?? MetroplisHastings方法 ? ?|iixx? ?在 Gibbs抽樣中， 可能很難抽取，這時(shí)可采用更一般化的 MetroplisHastings方法。其思路如下： 任意選擇一個(gè)不可約的轉(zhuǎn)移概率 q(.,.)以及一個(gè)函數(shù) α (.,.)， 0α ?1,對(duì)任一組合 (x,x’)(x?x’),定義 ? ? ? ? ? ?, 39。 , 39。 , 39。 39。p x x q x x x x x x???則 p(x,x’)形成一個(gè)轉(zhuǎn)移核。 此方法的實(shí)施比較直觀，首先由 q(x,x’)產(chǎn)生一個(gè)潛在的轉(zhuǎn)移 x ? x’，然后根據(jù)概率 α(x,x’)決定是否轉(zhuǎn)移。于是，在有了 x’之后，可產(chǎn)生一 U(0,1)隨機(jī)數(shù) u,如果u?α (x,x’),則 X(i+1)=x’,否則， X(i+1)=x。 注意：在有了 q(.,.)后，應(yīng)選擇 α (.,.)使相應(yīng)的p(x,x’)以 π(x)為平穩(wěn)分布。 定理 給定 q(x,x’),取 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?39。 39。, 39。 m in 1 , ,39。x q x xxx x q x x?? ???? ????則由以下 p(x,x’)產(chǎn)生的 Markov鏈?zhǔn)强赡娴?，且以?x)為平穩(wěn)分布 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 39。 , 39。 , 39。, 39。 39。 39。, , 39。39。, 39。 39。 39。, , 39。p x x q x x x xq x x x q x x x q x xxq x x x q x x x q x xx???????????? ????由定理 ，建議分布 q(x,x’)可取各種形式。 常用的建議分布選擇方法： (1)Metropolis選擇：對(duì)稱的建議分布，即 ? ? ? ?,q x x q x x???此時(shí) ? ? ? ?? ?39。, 39。 m in 1 , xxx x?? ???? ????例如 ? ? ? ? ? ?22e x p , , e x p22 xxxx q x x??? ? ????? ? ? ??????? ??（ 2）獨(dú)立抽樣 取 ? ? ? ?,q x x q x??? 則 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?39。, 39。 m in 1 , x q xxxx q x???????? ???一般，要使獨(dú)立抽樣有好的效果， q(x)應(yīng)接近 π (x),比較安全的辦法是使 q(x)的尾比 π(x)重。 (3)單元素 MetropolisHastings算法 產(chǎn)生向量 X的樣本有時(shí)是困難的，通常是利用滿條件分布對(duì) X的分量進(jìn)行逐個(gè)抽樣。 考慮 的條件分布，選擇一個(gè)轉(zhuǎn)移核 ，固定 不變，由 q 產(chǎn)生一個(gè)可能的 ，然后以概率 α 決定是否接受其作為下一狀態(tài)。 | , 1 , .. .,iiX X i n? ?? ?|i i iq x x x ??? i i iX X x? ? ?? ??ix?（續(xù)）例 設(shè) (X1,X2)的聯(lián)合密度為 221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21( , ) ,21x x x xx x e?????? ? ????試產(chǎn)生 的后驗(yàn)分布樣本。 ?解：由例 , 各分量的滿條件分布為 ? ? ? ?2| , , 1 , 1 , 2 , 2 , 1i j jx x N x i j? ? ? ?? ? ? ?? ?221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21|,1x x x xx x e?????? ? ????? ?? ?? ?221 1 2 22221 1 2 221[ 2 ]2 ( 1 )21[ 2 ]2 ( 1 )2139。 1, 39。 m i n 1 , m i n 1 ,11x x x xx x x xee?????? ?? ? ?????? ? ???? ? ???????? ???? ?? ?????????? ? ? ?1 2 1 2| , | , 1 , ( 0 1 )q x x q x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?取 則抽樣步驟為： (1)選初值 (2) 按 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) (3)按 U(0,1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) (4)產(chǎn)生一 U(0,1)隨機(jī)數(shù) u,如果 則否則 ，否則 ? ? ? ? ? ?00 10 , 1 , xR? ??? ? ? ? ? ?? ?0 0 0 21 ,1Nx?? ? ? ?02x?? ? ? ?? ?01,u ? ? ??? ?1??? ? ? ? ?10??
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