【正文】 拱的概念 拱的軸線一般是曲線形狀，實(shí)體拱指由充滿密實(shí)材料的桿構(gòu)成的拱。 拱的受力特征是，在豎向荷載作用下可產(chǎn)生水平支座反力（水平推力 )。具有這類受力特征的結(jié)構(gòu)稱為有推力結(jié)構(gòu) 。 二、拱的分類 １、按具有的鉸的數(shù)量分類： 三鉸拱、兩鉸拱、無鉸拱。 ２、按幾何組成（或計(jì)算方法）分類： 靜定拱：三鉸拱、帶拉桿三鉸拱； 超靜定拱： 兩鉸拱、無鉸拱。 167。 42 三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算 三鉸拱的構(gòu)造及各部名稱，及相應(yīng)于拱的簡(jiǎn)支梁（相應(yīng)簡(jiǎn)支梁）。 一、 三鉸拱的支座反力 （一）、三鉸拱的支座反力 三鉸拱的支座反力和三鉸剛架支座反力的計(jì)算方法完全相同，即以其中兩個(gè)鉸分別建立力矩平衡方程，集中計(jì)算剩下的一個(gè)鉸的兩個(gè)約束力的方法。 當(dāng)三鉸拱的兩個(gè)底鉸在一條水平線上時(shí)，其支座反力的計(jì)算常采取如下步驟： １、由拱的整體平衡條件求兩個(gè)豎向支座反力； ２、由拱頂鉸 C任一側(cè)的平衡條件，求在這一側(cè)上的水平支座反力； ３、再由拱的整體平衡條件，求另一水平支座反力。 ∑MA=0 FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0 FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l (↑) (a) ∑MB=0 FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0 FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l (↑) (b) ２、 ∑MC=0 FByl2–FBxf –FP3(l2–b3)=0 FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f (←) （ c) ３、 ∑Fx=0 FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH (d) 說明：上述計(jì)算底鉸在一條水平線上的三鉸拱支座反力的方法和步驟，適用于任意荷載作用下的情況。但兩個(gè)底鉸的水平反力相同僅是在只有豎向荷載作用的情況下。 （二）、三鉸拱與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的幾個(gè)關(guān)系式： 相應(yīng)簡(jiǎn)支梁，指與拱的跨度、荷載相同的簡(jiǎn)支梁。容易得知三鉸拱與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的如下幾個(gè)關(guān)系式： FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (421) 這三個(gè)關(guān)系式僅在只有豎向荷載作用下成立。 由第三式分析，在拱上作用的荷載和拱的跨度不變的條件下， M0C是一個(gè)常數(shù)， FH與 f 得出，拱的推力 FH與它的高跨比 f / l 有關(guān)，即當(dāng)高跨比 f / l越?。ㄔ酱螅?, 則水平推力 FH越大（越?。?。 二、拱的內(nèi)力計(jì)算 拱的任一截面上一般有三個(gè)內(nèi)力（ M, FQ, FN），內(nèi)力計(jì)算的基本方法仍是截面法。與直桿件不同的是拱軸為曲線時(shí)，截面法線角度不斷改變，截面上內(nèi)力（ FQ , FN）的方向也相應(yīng)改變。 例 421 已知圖示三鉸拱的拱軸方程為 y(x)=4fx(l－ x)/l2 ，求支座反力及 K截面的內(nèi)力。 解：（１）求支座反力 由拱的整體平衡條件： ∑MA = 0 FBy 16 –10 12 –2 8 4 = 0 FBy = kN (↑) ∑MB = 0 FAy 16 –10 4 –2 8 12 = 0 FAy = kN (↑) 取鉸Ｃ以右部分的平衡條件 ： ∑MC = 0 FH 4–FBy 8 + 10 4 = 0 FH = 13 kN (←) （２）求Ｋ截面的內(nèi)力 ?。私孛嬉宰蟛糠郑?截面各內(nèi)力均按正方向畫（注意：規(guī)定拱的軸力以受壓為正；剪力和彎矩的規(guī)定仍同前） 。 確定Ｋ截面位臵參數(shù) yK和 αK： 將Ｋ截面坐標(biāo) x = 4m 代入 : y(x)=4fx(l－ x)/l2和tanαK=dy/dx=4f(l－ 2x)/l2 得： yK=3m tanαK= 則有 : αK=176。 sinαK= cosαK = 建立隔離體的平衡方程，求Ｋ截面的內(nèi)力： 以截面Ｋ的外法線 n和切向 τ的方向分別建立投影方程，求 FNK和 FQK： ∑Fn=0 FNK–(–2 4)sinαK –13cosαK=0 FNK = kN ( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK) ∑Fτ=0 FQK–(–2 4)cosαK+13sinαK=0 FQK = 0 ( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK) 以Ｋ點(diǎn)為矩心的力矩平衡方程，求 MK： ∑MK=0 MK + 2 4 2 + 13 3– 4 = 0 得： MK = 3 kNm ( 下側(cè)受拉 ) ( MK = M0K–FH yK ) 說明： 對(duì)照上述計(jì)算拱內(nèi)力的三個(gè)方程式，可以寫出如后面括號(hào)中三個(gè)內(nèi)力表達(dá)式，即： FNK = F0QK sinαK +FHcosαK FQK = FQKcosαK–FH sinαK （ 422） MK = M0K–FH yK 上式可作為拱內(nèi)力的計(jì)算公式用，特別是在作拱的內(nèi)力圖時(shí)。但須注意以下幾點(diǎn)： １、式（ 422）要在以拱的左底鉸為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)中應(yīng)用，并僅考慮了豎向荷載的作用。 ２、式中 αK 為所計(jì)算 K截面外法線 n（或 K截面處拱軸切線）與水平 x坐標(biāo)的夾角。如果取 αK是與水平方向的銳角考慮，則 K截面在左半拱時(shí)為正，在右半拱時(shí)為負(fù)。 ３、帶拉桿的三鉸拱，其支座反力可由整體的平衡條件完全求得；水平推力由拉桿承受?？蓪㈨斻q和拉桿切開，取任一部分求出拉桿中的軸力。 三、 拱的內(nèi)力圖特征 １、拱的內(nèi)力圖特征 由式（ 422）分析，當(dāng)拱軸為曲線時(shí)。有： （１）不管拱軸區(qū)段上是否有分布荷載，拱的各內(nèi)力圖在區(qū)段上均為曲線形狀； （２） 在豎向集中力 FP作用點(diǎn)兩側(cè)截面，拱的軸力和剪力有突變，突變值分別為 FP sinαK 和 FP cosαK，彎矩圖在該點(diǎn)轉(zhuǎn)折；在集中力偶Ｍ作用點(diǎn)兩側(cè)截面，彎矩有突變，突變值為Ｍ，軸力和剪力不受影響。 （３）由于水平推力對(duì)拱的彎矩的影響，拱的彎矩與相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的彎矩比較大大的減小。 ２、拱的內(nèi)力圖的制作方法 原則上是將拱沿其跨度平分成若干等份區(qū)段，分別計(jì)算出每個(gè)等分點(diǎn)截面的內(nèi)力值，然后將各點(diǎn)內(nèi)力豎標(biāo)順序連以光滑曲線即可。但要注意各內(nèi)力圖上的突變和轉(zhuǎn)折特征。 當(dāng)只有豎向荷載作用時(shí)，拱軸上各等分點(diǎn)截面的內(nèi)力計(jì)算，可利用式 （ 422） 制作適當(dāng)?shù)谋砀窈?，再進(jìn)行由表格表示的各項(xiàng)的計(jì)算。 167。 43 拱的合理拱軸簡(jiǎn)介 由于拱的水平推力的作用，拱的彎矩與相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁相比大大減小，所以拱是以受壓為主的結(jié)構(gòu)。 一、拱的合理拱軸概念： 在某一荷載作用下，沿拱軸所有截面上均無彎矩時(shí)的拱軸線稱之。 二、在豎向荷載下的合理拱軸線 根據(jù)拱的合理拱軸的概念，在豎向荷載下的合理拱軸線可由式（ 422）中的彎矩式得出，即由 MK=M0K–FH yK 并令 MK =０ 得： yK= M0K/FH （ 431） 例 431 求圖示三鉸拱的合理拱軸線方程 ， 并分析其合理拱軸的形狀 。 解：（１）求支座反力 由整體的平衡條件 ∑MB = 0 得： FAy 8－ FH 2－ 20 6－ 10 4 2=0 由Ｃ鉸以左部分的平衡 ∑MC = 0 得： FAy 4－ FH 4－ 20 2=0 聯(lián)立上兩式： 4FAy－ FH－ 100=0 FAy－ FH－ 10=0 解得： FAy=30kN (↑) FH=20kN (→) （２）建立以Ａ支座為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由式 y=M0/FH 分段寫出拱的合理拱軸線方程 : (0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2 (2≤x≤4) y=[30x－ 20(x－ 2)]/20=x/2＋ 2 (4≤x≤8) y=[(30x－ 20(x－ 2) － 10(x－ 4)2/2]/20 =－ x2/4＋ 5x/2－ 2 上式即為豎向荷載作用下的合理拱軸線方程。 說明：由本例結(jié)果可知，三鉸拱在豎向集中荷載作 用下的的無荷載區(qū)段上，合理拱軸是一條直線， 并在集中荷載作用點(diǎn)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折；在均布荷載作 用區(qū)段上，合理拱軸是一條拋物線。 拱的合理拱軸線的形狀與相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的彎 矩圖相似。 靜定拱 小結(jié) 一、要求了解拱的受力特點(diǎn)；重點(diǎn)掌握兩個(gè)底鉸在一條水平線上的三鉸拱的支座反力的計(jì)算，及拱軸上指定截面的內(nèi)力計(jì)算；了解拱的內(nèi)力圖的特征及制作方法。 二、應(yīng)掌握拱在任意荷載下的計(jì)算，即不限于僅有豎向荷載的情況。所以。拱的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)建立在牢固掌握截面法的基礎(chǔ)之上，而不只是運(yùn)用公式。