【正文】 tTnbtTnaatF ??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 119 其中各個(gè)系數(shù)計(jì)算分為兩種情況： 當(dāng) F(t)定義在 [－ T/2, T/2]上時(shí) 20222222( ) ,22( ) c os , ( 1 , 2 , )22( ) si nTTTTnTTna F t dtTnta F t dt nTTntb F t dtTT????????????? ?????????? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 120 20020204( ) ,42( ) c os , ( 1 , 2 , )42( ) si nTTnTna F t dtTnta F t dt nTTntb F t dtTT???? ????? ???? ????? 若 F(t)為奇函數(shù)則 an＝ 0， 若 F(t)為偶函數(shù)則 bn＝ 0， 且可分別寫為： 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 121 當(dāng) F(t)定義在 [0, T]上時(shí) 00002( ) ,22( ) c o s , ( 1 , 2 , )22( ) si nTTnTna F t d tTnta F t d t nTTntb F t d tTT????????? ????????? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 122 周期激勵(lì)下的振動(dòng)方程 ()m x c x k x F t? ? ? 系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng) (P4750) 變?yōu)? 22 nnx x x? ? ?? ? ?????????? ??10 2s i n2c os12 n nntTnbtTnamma ?? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 123 無(wú)阻尼系統(tǒng)在周期激勵(lì)作用下的響應(yīng) 其中 0122( ) c o s s in2nnnna n t n tx t a bk k T T? ??????? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ????2211n nr? ? ?2nrT??? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 124 利用上節(jié)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)可得到 其中 0122( ) c o s s in2nn n n nna n t n tx t a bk k T T? ????????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????2 2 2 21( 1 ) ( 2 )n n r n r?????222a r c ta n1nnrnr?? ??2nr T ??? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 125 題 求無(wú)阻尼系統(tǒng)在圖示周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 。 解：激振力函數(shù)為 1112, 0 ,23( ) 2 1 , ,222 3 24 , ,2FtF t F tFt????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ?????? ? ? ? ???? ????? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ?? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 126 F為奇函數(shù) ， 可以只在半周期內(nèi)積分 ， 也可以在 0～ T積分 ， 而 an＝ 0。 在 0～ T積分時(shí)： 2102 s in ( )nb F t n t d t???? ???? ?3212( 1 ) 2 s in ( )t F n t d t?????? ??????23 122( 4 ) s in ( )t F n t d t?????? ???? ? ??1224 si n ( ) ( 1 c o s )2F n nn? ???? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 127 在半周期內(nèi)積分時(shí)： 最終結(jié)果均為： 作業(yè)： T326 1228 s in , ( 1 , 3 , 5 )2nF nbnn??????????代入公式即可得出響應(yīng) 。 21022 s in ( )nb F t n t d t???? ???? ?122 ( 1 ) 2 s in ( )t F n t d t?????? ????? ?1228 sin( )2F nn??? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 128 任意激振力作用下的響應(yīng)利用數(shù)學(xué)的卷積分方法求解 。 其基本思想是將任意激振力表示為無(wú)限多個(gè)常力之和 ， 通過(guò)積分計(jì)算響應(yīng) 。 瞬態(tài)振動(dòng) （任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)） 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 129 定義階躍函數(shù)或稱單位臺(tái)階函數(shù)為 沖擊響應(yīng) ??????0001)(0tttH當(dāng)當(dāng)H0(t) t O 1 此函數(shù)無(wú)量剛 ，在 t＝ 0處有跳躍 。 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 130 類似地 ， 若在 t＝ a處有跳躍 ， 函數(shù)可寫為 H0(t－ a)。 01()0taH t ata???? ???當(dāng)當(dāng)H0(ta) t O 1 a 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 131 d函數(shù) （ Dirac函數(shù) ） 或稱單位脈沖函數(shù) ,數(shù)學(xué)定義為 2. d函數(shù) (P52) ????????????d ?tttt0100)(或()t?d1?O t ()tdO t 1 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 0( ) l im ( ),00 , 0tttt??dd?????? ???第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 132 同樣可定義 t＝ a時(shí)的單位脈沖函數(shù) 0() 1t a t ataa t a??d?? ? ????? ?? ? ???或0( ) l i m ( ),0,t a t atata??dd?? ? ????? ???()ta?d ?1?O t a 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 133 單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)： dttdHt )()( 0?d0( ) ( )t d H td t t????? ?? ?＋－ 1)( dttd ? ?? ??＋－ 1)( dtatd? ?? ??＋－ )()()( afdtattf d 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 134 單位脈沖激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 3. 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) (P5253) )( tkxxcxm d??? ??? 設(shè)初始條件為 0， 在 Dt＝ ??內(nèi)對(duì)方程兩端積分得 1)(l i m)(l i m00 00???? ????????d dttdtkxxcxm ??? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 135 說(shuō)明系統(tǒng)受到脈沖激勵(lì)后速度發(fā)生突變 ， 而位置不變 。 即獲得了初始速度 ， 然后作自由衰減振動(dòng) 。 利用上章的公式計(jì)算振幅和相位 22 000 21nnvxAx?????????????? 211nm ????20001a r c ta n 0nnxvx????????? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 136 而 （ 動(dòng)量的突變 ） 0000l im l im ( ) |m x d t m x? ???????( 0 )mx ??? ?? ?? 00l i m dtxc ? 0)0( ??cx（ 時(shí)間極短 ， 位移無(wú)變化 ） 0l i m00 ?????k x d t因此 1( 0 )xm? ? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 137 于是得到系統(tǒng)對(duì)單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 2n2( ) s in ( 1 )1n tneh t tm??????????顯然對(duì) t＝ t處的單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 ()2n2( ) s in [ 1 ( ) ]1n tneh t tm? ? tt ? ? t????? ? ? ?? h(t)和 h(t－ t)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù) ，或簡(jiǎn)稱脈沖響應(yīng)函數(shù) 。 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 138 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 n1( ) s innh t tm???對(duì) t＝ t處的單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 n1( ) s in [ ( ) ]nh t tmt ? t?? ? ? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 139 設(shè)有圖示任意激勵(lì) F(t)，在時(shí)間區(qū)間 [0,t]內(nèi)的作用可視為一系列脈沖 F(t)dt?連續(xù)作用疊加而成 。 褶積積分（卷積積分） —— 任意激勵(lì)的響應(yīng) (P5357) 2nn()2 Ftx x xm? ? ?? ? ? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) F(t) t? dt?t t F(t) F(t) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 140 在任意瞬時(shí) t=t處 ， 大小為 F(t)dt的脈沖可用 d函數(shù)表示為 F(t)dtd(tt)， 相應(yīng)的響應(yīng)為dx= F(t)dt?h(tt)。 因而系統(tǒng)對(duì) F(t)的總響應(yīng)為 ? ?? t dthFtx 0 )()()( ttt() 2n2 01 ( ) s in [ 1 ( ) ]1nt tne F t dm? ? t t ? ? t t????? ? ?? ? 這就是系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì) F(t)的零初值響應(yīng) 。稱為杜哈美 （ Duhamel） 積分 。 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 141 1. 階躍激勵(lì) （ 例 331） 幾種常見(jiàn)激勵(lì)的響應(yīng) 利用杜哈美積分可求得 0 0()00FtFtt??? ??20022()( ) 1 c os( 1 )si n( 1 )1nntntnF H tx t e tket?????????????? ? ????? ?? ?? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 142 特別地 ， 若 F0＝ 1， 則上式就成為單位臺(tái)階函數(shù) H0(t)的零初值響應(yīng) 2022()( ) 1 c os( 1 )si n( 1 )1nntntnHtg t e tket?????????????? ? ????? ?? ?? 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) h(t)和單位臺(tái)階函數(shù)的響應(yīng) g(t)之間有下面的關(guān)系 ()() d g thtdt? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 143 2. 斜坡載荷激勵(lì)