簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征-資料下載頁(yè)
2025-05-14 03:41本頁(yè)面
【正文】 尼時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的固有圓頻率， 稱為阻尼系數(shù)。可用試探法求得解為： 0? ?)(),c o s ( 220 ?????? ???? ? tAex t初始振幅 A 與初始相位 是兩個(gè)積分常數(shù)。 一、欠阻尼狀態(tài) 條件： ，上解有意義，它描寫一種振動(dòng)，振幅 隨時(shí)間而衰減，其“圓頻率” 從 降到 ，其“周期”相應(yīng)地拉長(zhǎng)，因振幅不斷減小，已經(jīng)不是嚴(yán)格意義下的周期運(yùn)動(dòng)，所以“圓頻率”、“周期”等詞加上引號(hào)。 為量度振幅衰減的快慢，通過引用某個(gè)時(shí)刻的 x 值與一個(gè)“周期” T 之后的 x 值之比的對(duì)數(shù)表示，稱為 對(duì)數(shù)減縮 。 ?0?? ?tAe ???0? 220 ?? ?TtAe tAe Ttt??? ????????? ???)c os ()c os (ln)( 越大， T 也較大，即 越大，振動(dòng)衰減得越快。 二、臨界阻尼狀態(tài) 條件： ，“周期” 即振 ? T?0, 2200 ???? ????? ??T動(dòng)的特點(diǎn)完全消失。事實(shí)上，雖然回復(fù)力使物體向平衡位置移動(dòng)，但由于阻尼太強(qiáng)，向平衡位置移動(dòng)并不能加速，反而減速，所以只能逐漸逼近平衡位置，不可能越過平衡位置，也就不能振動(dòng)。 三、過阻尼狀態(tài) 條件： “圓頻率” 為虛數(shù)，“周期” T也為虛數(shù)，即根本不發(fā)生振動(dòng)，而且逼近平衡位置比臨界阻尼來得更慢。 0?? ?220 ??? ??臨界阻尼 過阻尼 欠阻尼 O x t 如果希望系統(tǒng)在較長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)保持振動(dòng)，那就應(yīng)使阻尼因子 小，例如，傅科擺必須維持較長(zhǎng)時(shí)間的擺動(dòng)，才能夠顯示出地球的自轉(zhuǎn)，為此應(yīng)使 小。因?yàn)? 擺球橫截面 （擺球半徑） 2，而 擺球體積 （擺球半徑） 3，所以 擺球半徑，這是說，傅科擺的擺球要做得大一些，并且最好用密度比較大的材料制做。 如果并不希望系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間振動(dòng)，那就應(yīng)使阻尼因子適當(dāng)大一些，最好是臨界阻尼。例如，天平的指針老是擺動(dòng)不停，或者萬(wàn)用電表的指針老是擺動(dòng)不停，讀取讀數(shù)就太花時(shí)間了。這就應(yīng)加進(jìn)適當(dāng)?shù)淖枘帷Ｔ谂R界阻尼的情況下，指針較快地逼近正確的讀數(shù)。在過阻尼的情況下，指針也逼近正確的讀數(shù)，但比臨界阻尼慢。 ?m2/?? ? ??? ?m ?/1??167。 8 受迫振動(dòng) 上面討論的是給振動(dòng)系統(tǒng)一個(gè)初始偏離或初始速度，總之，是供給它一定的初始能量，后來就不再管它，不再向它提供能量。如果沒有損耗，振動(dòng)系統(tǒng)保持著它的初始能量不變，即保持不變的振幅，這是諧振動(dòng)。如果有損耗，振動(dòng)系統(tǒng)不能保持它的初始能量，即振幅隨時(shí)間而衰減，這是阻尼振動(dòng)。這些統(tǒng)稱為 自由振動(dòng) 。 但是，在不少振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，始終有外力作用，對(duì)它作功，同它交換能量。 振動(dòng)系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行的振動(dòng) 叫 受迫振動(dòng) 。 一、受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 質(zhì)點(diǎn)受三種力：彈性力 ，阻尼力 ，周期性外力（策動(dòng)力） kx? x???tFtF ?c o s)( 0?tfxxxmFfmmktmFxmkxmxtFxkxxm??????????c o s2,2,c o sc o s020002000 ???????????????????????于是有令二、受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征 根據(jù)微分方程的理論，上面方程的解為 )c o s ()c o s ( 0 ????? ????? ? tAtAex t第一項(xiàng)為 暫態(tài)項(xiàng)。 過渡階段，是阻尼振動(dòng)，最終消失；第二項(xiàng)為 穩(wěn)定項(xiàng)。 是指過渡階段已結(jié)束，初始能量造成的振動(dòng)已經(jīng)消失，強(qiáng)迫力造成的另一振動(dòng)，從零開始，逐漸增強(qiáng)，最后達(dá)到一定的穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。 我們主要關(guān)心的就是對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定振動(dòng)的那一部分解答。 將 代入動(dòng)力學(xué)方程，得恒等式 )c o s (0 ?? ?? tAx.c o s)s i ns i nc o s( c o s)s i nc o sc o s( s i n2)s i ns i nc o s( c o s0020020tfttAttAttA????????????????????????等式雙方 的系數(shù)應(yīng)分別相等，即 tt ?? s i nc o s 和0c os2s i n)(s i n2c os)(02200002200??????????????????AAfAA220222220002,4)(???????????????tgfA可解出 三、位移共振 振幅 A0 是 的函數(shù)，其圖象大致如圖所示。 ?0AmA2mA?1?r? 2?強(qiáng)迫力的圓頻率 太高或太低，振幅 A 都比較小，運(yùn)用求函數(shù)極值的方法，當(dāng) 時(shí)， A0 最大。這一頻率稱為 位移共振頻率。 ?220 2 ??? ??r 電子技術(shù)是把外來作用稱為“激勵(lì)”，它所產(chǎn)生的效果叫“響應(yīng)”。若外來信號(hào)的頻率小于 或大于 ，這種弱信號(hào)所引起的振動(dòng)將會(huì)被最強(qiáng)的信號(hào)掩蓋，或者說“不允許通過”。反之，如果頻率在 與 之間，那末就總能引起最強(qiáng)的振動(dòng)，因此被認(rèn)為是“允許通過”。由此產(chǎn)生了“通頻帶”的概念。與 對(duì)應(yīng)的頻率范圍 叫做頻帶寬度 ，它通常用來標(biāo)志系統(tǒng)的選擇性好壞。 1? 2?1?)( 12 ?? ?2?)( 12 vv ?
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