高一數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算-資料下載頁
2024-11-12 01:35本頁面
【導(dǎo)讀】第13講│導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算。1．一般地，函數(shù)y＝f在x＝x. 處的瞬時(shí)變化率是lim. 2．當(dāng)x變化時(shí)，f′是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f的。________，簡稱______，有時(shí)也記作y′，即f′＝y(tǒng)′＝。f′或y′|x＝x0limΔx→0. 點(diǎn)M處的____________，點(diǎn)M處的切線方程為。設(shè)v＝v是速度函數(shù)，則v′表示物體在t＝t0時(shí)刻?！洌絖_____；′＝________；6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)y＝f，u＝g在對應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，則y. [思路]用導(dǎo)數(shù)的定義即可求解．。[解答]原式＝2·lim. [點(diǎn)評]利用導(dǎo)數(shù)定義解題，要充分體會導(dǎo)數(shù)定義的實(shí)。質(zhì)，表達(dá)式不同，但表達(dá)的實(shí)質(zhì)可能相同．比如下面的變。下列式子中與f′(x. ＋Δx）－f（x. B[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，分子中x0的增量應(yīng)與分母相同，lgx＝xlgx，y′＝′＝lgx＋。本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別。注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的作用，在實(shí)施化簡時(shí)，要注意變換的。等價(jià)性，避免不必要的失誤．對于某些不滿足求導(dǎo)法則條件。的函數(shù)，可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營，使解決問題水到
【正文】 ?????3 x －π3＋ 3e－ 2 xcos??????3 x －π3. [點(diǎn)評 ] 對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次， “由外到內(nèi) ”逐層求導(dǎo)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中一般復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次不超過 3層． 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例 5 已知曲線 y ＝13x3＋43. (1) 求曲線在點(diǎn) P (2,4) 處的切線方程； (2) 求曲線過點(diǎn) P (2,4) 的切線方程； (3) 求滿足斜率為 1 的曲線的切線方程； (4) 第 (1) 小題中切線與曲線是否還有其他公共點(diǎn)？ [ 解答 ] ( 1 ) ∵ y ′＝ x2， ∴ 在點(diǎn) P (2, 4) 處的切線的斜率 k＝ ???y ′x ＝ 2 ＝ 4. ∴ 曲線在點(diǎn) P (2,4) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4 ??????x － 2 ，即 4 x － y － 4 ＝ 0. 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 (2) 設(shè)曲線 y ＝13x3＋43與過點(diǎn) P (2,4) 的切線相切于點(diǎn)A??????x0，13x30＋43，則切線的斜率 k ＝ ???y ′ x ＝ x0＝ x20. ∴ 切線方程為 y －??????13x30＋43＝ x20 ??????x － x0 ，即 y ＝ x20x －23x30＋43. ∵ 點(diǎn) P (2,4) 在切線上， ∴ 4＝ 2 x20－23x30＋43，即 x30－ 3 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x30＋ x20－ 4 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x20 ??????x0＋ 1－ 4??????x0＋ 1??????x0－ 1 ＝ 0 ， ∴??????x0＋ 1??????x0－ 22＝ 0 ，解得 x0＝－ 1 或 x0＝ 2 ，故所求的切線方程為 4 x － y － 4 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 (3) 設(shè)切點(diǎn)為??????x0， y0 ，故切線的斜率為 k ＝ x20＝ 1 ，解得 x0＝ 177。1 ，故切點(diǎn)為??????1 ，53，??????－ 1 ， 1 . 故所求切線方程為 y －53＝ x － 1 或 y － 1 ＝ x ＋ 1 ，即 3 x － 3 y ＋ 2 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. (4) 由??? 4 x － y － 4 ＝ 0 ， y ＝13x3＋43， 消去 y ，得 x3－ 12 x ＋ 16 ＝ 0 即??????x － 22??????x ＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 或 x ＝－ 4 代入 4 x － y－ 4 ＝ 0 ，求得 y ＝ 4 或 y ＝－ 20 . 即公共點(diǎn)為 (2,4)( 切點(diǎn) ) 和 ( － 4 ，－20) ． ∴ 除切點(diǎn)外，還有一個(gè)交點(diǎn) ( － 4 ，－ 20 ) ． 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動 ， 已知路程 s ( 單位 ： m ) 是時(shí)間 t ( 單位 ： s ) 的函數(shù) ： s ＝ 3 t2＋ 2 t＋ 1. 求 ： ( 1 ) 從 t＝ 2 變到 t＝ 3 時(shí) ， s 關(guān)于 t 的平均變化率 ， 并解釋它的實(shí)際意義 ； ( 2 ) 當(dāng) t＝ 2 時(shí)的瞬時(shí)速度 ； ( 3 ) 當(dāng) t＝ 2 時(shí)的加速度 ． 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 [ 思路 ] (1) 利用概念求函數(shù) f ( x ) 的平均變化率Δ yΔ x； (2) 瞬時(shí)速度為位移函數(shù)在某一時(shí)刻上的導(dǎo)數(shù)值； (3) 加速度為速度函數(shù)在某一時(shí)刻上的導(dǎo)數(shù)值． [ 解答 ] (1)Δ s ＝ s (3) － s (2) ＝ (3 32＋ 2 3 ＋ 1) － (3 22＋ 2 2 ＋ 1) ＝ 17 ，∴Δ sΔ t＝173 － 2＝ 17 ，表示從 t＝ 2 變到 t＝ 3 時(shí)， s 關(guān)于 t 的平均變化率為17 ，即此段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的平均速度為 17 m/ s. (2) s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ s ′(2 ) ＝ 6 2 ＋ 2 ＝ 14(m /s) ．即當(dāng) t＝ 2 時(shí)的瞬時(shí)速度為 14 m/ s . (3) 設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的速度為 v m/ s ，則 v ( t ) ＝ s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ v ′( t ) ＝ 6 ， ∴ v ′(2) ＝ 6 ，即當(dāng) t＝ 2 時(shí)的加速度為 6 m/ s2. 第 13講 │ 規(guī)律總結(jié) 規(guī)律總結(jié) 1．函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是 “增量之比的極限 ”，即瞬時(shí)變化率，f′(x0)是函數(shù) f(x)在導(dǎo)函數(shù) f′(x)當(dāng) x＝ x0時(shí)的函數(shù)值． 2．函數(shù) y＝ f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指曲線 y＝ f(x)在點(diǎn)P(x0， f(x0))處的切線的斜率，即 f′(x0)＝ k切 ，此時(shí)切線方程為 y－ f(x0)＝ f′(x0)(x－ x0)． 3．準(zhǔn)確理解曲線的切線，需要注意的兩個(gè)問題 (1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)以上公共點(diǎn)； (2)曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線 y＝ x3在其過 (0,0)點(diǎn)的切線 y＝ 0的兩側(cè)． 第 13講 │ 規(guī)律總結(jié) 4．要區(qū)分 “過某點(diǎn) ”的切線和 “在某點(diǎn) ”的切線不同， “在某點(diǎn) ”的切線是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，因此此點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，而對于 “過某點(diǎn) ”的切線，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，要利用解方程組的思想求切線的方程． 5．利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，先要根據(jù)基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯(cuò)．另外，還要避免求導(dǎo)過程中指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤．
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