高一數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其運算-文庫吧在線文庫
【正文】 ???x0， y0 ，故切線的斜率為 k ＝ x20＝ 1 ，解得 x0＝ 177。 limh →0 f （ x 0 ＋ h ） － f （ x 0 － h ）2 h＝ 2 f ′( x 0 ) ． 第 13講 │ 要點探究 [點評 ] 利用導(dǎo)數(shù)定義解題，要充分體會導(dǎo)數(shù)定義的實質(zhì)，表達(dá)式不同，但表達(dá)的實質(zhì)可能相同．比如下面的變式題： 第 13講 │ 要點探究 下列式子中與 f ′( x0) 相等的是 ( ) (1) li mΔ x →0 f （ x0） － f （ x0－ 2Δ x ）2Δ x； (2) li mΔ x →0 f （ x0＋ Δ x ） － f （ x0－ Δ x ）Δ x； (3) li mΔ x →0 f （ x0＋ 2Δ x ） － f （ x0＋ Δ x ）Δ x； (4) li mΔ x →0 f （ x0＋ Δ x ） － f （ x0－ 2Δ x ）Δ x. A ． (1) (2) B ． (1) (3) C ． (2) (3) D ． (1) (2)(3 )( 4) 第 13講 │ 要點探究 [思路 ] 緊扣導(dǎo)數(shù)定義，正確理解增量 Δx的實質(zhì)． B [解析 ] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，分子中 x0的增量應(yīng)與分母相同，故選 B. 第 13講 │ 要點探究 ? 探究點 2 利用求導(dǎo)法則求導(dǎo) 例 2 下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為： ① (3x)′ ＝ 3xlog 3 e ； ② (l og 2 x )′ ＝1x 1 ，故切點為??????1 ，53，??????－ 1 ， 1 . 故所求切線方程為 y －53＝ x － 1 或 y － 1 ＝ x ＋ 1 ，即 3 x － 3 y ＋ 2 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. (4) 由??? 4 x － y － 4 ＝ 0 ， y ＝13x3＋43， 消去 y ，得 x3－ 12 x ＋ 16 ＝ 0 即??????x － 22??????x ＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 或 x ＝－ 4 代入 4 x － y－ 4 ＝ 0 ，求得 y ＝ 4 或 y ＝－ 20 . 即公共點為 (2,4)( 切點 ) 和 ( － 4 ，－20) ． ∴ 除切點外，還有一個交點 ( － 4 ，－ 20 ) ． 第 13講 │ 要點探究 設(shè)質(zhì)點作直線運動 ， 已知路程 s ( 單位 ： m ) 是時間 t ( 單位 ： s ) 的函數(shù) ： s ＝ 3 t2＋ 2 t＋ 1. 求 ： ( 1 ) 從 t＝ 2 變到 t＝ 3 時 ， s 關(guān)于 t 的平均變化率 ， 并解釋它的實際意義 ； ( 2 ) 當(dāng) t＝ 2 時的瞬時速度 ； ( 3 ) 當(dāng) t＝ 2 時的加速度 ． 第 13講 │ 要點探究 [ 思路 ] (1) 利用概念求函數(shù) f ( x ) 的平均變化率Δ yΔ x； (2) 瞬時速度為位移函數(shù)在某一時刻上的導(dǎo)數(shù)值； (3) 加速度為速度函數(shù)在某一時刻上的導(dǎo)數(shù)值． [ 解答 ] (1)Δ s ＝ s (3) － s (2) ＝ (3 32＋ 2 3 ＋ 1) － (3 22＋ 2 2 ＋ 1) ＝ 17 ，∴Δ sΔ t＝173 － 2＝ 17 ，表示從 t＝ 2 變到 t＝ 3 時， s 關(guān)于 t 的平均變化率為17 ，即此段時間質(zhì)點的平均速度為 17 m/ s. (2) s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ s ′(2 ) ＝ 6 2 ＋ 2 ＝ 14(m /s) ．即當(dāng) t＝ 2 時的瞬時速度為 14 m/ s . (3) 設(shè)該質(zhì)點的速度為 v m/ s ，則 v ( t ) ＝ s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ v ′( t ) ＝ 6 ， ∴ v ′(2) ＝ 6 ，即當(dāng) t＝ 2 時的加速度為 6 m/ s2. 第 13講 │ 規(guī)律總結(jié) 規(guī)律總結(jié) 1．函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是 “增量之比的極限 ”，即瞬時變化率，f′(x0)是函數(shù) f(x)在導(dǎo)函數(shù) f′(x)當(dāng) x＝ x0時的函數(shù)值． 2．函數(shù) y＝ f(x)在點 x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指曲線 y＝ f(x)在點P(x0， f(x0))處的切線的斜率，即 f′(x0)＝ k切 ，此時切線方程為 y－ f(x0)＝ f′(x0)(x－ x0)． 3．準(zhǔn)確理解曲線的切線，需要注意的兩個問題 (1)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個以上公共點； (2)曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線 y＝ x3在其過 (0,0)點的切線 y＝ 0的兩側(cè)． 第 13講 │ 規(guī)律總結(jié) 4．要區(qū)分 “過某點 ”的切線和 “在某點 ”的切線不同， “在某點 ”的切線是指以該點為切點的切線，因此此點橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，而對于 “過某點 ”的切線，則該點不一定是切點，要利用解方程組的思想求切線的方程． 5．利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時，先要根據(jù)基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯．另外，還要避免求導(dǎo)過程中指數(shù)或系數(shù)的運算失誤． 第 13講 │ 導(dǎo)數(shù)及其運算 第 13講 導(dǎo)數(shù)及其運算 知識梳理 第 13講 │ 知識梳理 1 ．一般地，函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處的瞬時變化率是 limΔ x →0 Δ yΔ x＝ __________________ ，我們稱它為函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 ________________ ，即 f ′( x0) ＝ limΔ x →0 Δ yΔ x＝______________________. 2 ．當(dāng) x 變化時， f ′( x ) 是 x 的一個函數(shù)，我們稱它為 f ( x ) 的________ ，簡稱 ______ ，有時也記作 y ′ ，即 f ′( x ) ＝ y ′ ＝________________. limΔ x →0 f ( x 0 ＋ Δ x )－ f ( x 0 )Δ x f′(x0)或 y′|x＝ x0 limΔ x →0 f ( x 0 ＋
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