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高中數(shù)學(xué)排列組合習(xí)題及解析-資料下載頁(yè)

2025-08-05 18:17本頁(yè)面
  

【正文】 27+1829=124.所以,甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為124.題型二 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例2】(2010天津)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 23,且各次射擊的結(jié)果互不影響.(1)假設(shè)這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標(biāo)的概率。(2)假設(shè)這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)的概率.【解析】(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),則X~B(5,23).在5次射擊中,恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X=2)=C25(23)2(123)3=40243.(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i=1,2,3,4,5)?!吧涫衷?次射擊中,有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則P(A)=P(A1A2A3 )+P( A2A3A4 )+P( A3A4A5)=(23)3(13)2+13(23)313+(13)2(23)3=881.【點(diǎn)撥】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù),每次試驗(yàn)成功的概率都相同,恰有k次試驗(yàn)成功的概率為Pn(k)=Cknpk(1p)nk.【變式訓(xùn)練2】袋子A中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率。(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ,求P(ξ≥2).【解析】(1)P=C24(13)2(23)213=881.(2)P(ξ=2)=C25(13)2(113)3=80243,P(ξ=3)=C35(13)3(113)2=40243,則P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=4081.題型三 二項(xiàng)分布【例3】 一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率為13.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列。(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次遇到紅燈前經(jīng)過(guò)的路口數(shù),求Y的分布列。(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.【解析】(1)依題意知X~B(6,13),P(X=k)=Ck6(13)k(23)6k,k=0,1,2,3,4,5,6.所以X的分布列為X 0 1 2 3PX 4 5 6P(2)依題意知Y可取0,1,2,3,4,5,6,P(Y=0)=13,P(Y=1)=1323=29,P(Y=2)=13(23)2=427,P(Y=3)=13(23)3=881,P(Y=4)=13(23)4=16243,P(Y=5)=13(23)5=32729,P(Y=6)=(23)6=64729,所以Y的分布列為Y 0 1 2 3 4 5 6P(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率為P(X≥1)=1P(X=0)=1(23)6=665729.【點(diǎn)撥】解決離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題時(shí),要依據(jù)相關(guān)概念識(shí)別離散型隨機(jī)變量服從什么分布,如第(1)問(wèn)中X服從二項(xiàng)分布,而第(2)問(wèn)中并不服從二項(xiàng)分布.【變式訓(xùn)練3】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第11且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為13,.【解析】方法一:ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,5.P(ξ=0)=2535=32243,P(ξ=1)= =80243,P(ξ=2)= =80243,P(ξ=3)= =40243,P(ξ=4)= =10243,P(ξ=5)=135=1243.從而ξ的分布列為ξ 0 1 2 3 4 5P方法二:考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn),這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).故ξ~B(5,13),即有P(ξ=k)=Ck5(13)k(23)5k,k=0,1,2,3,4,5.由此計(jì)算ξ的分布列如方法一.總結(jié)提高獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù),每次試驗(yàn)結(jié)果的概率不受其他次結(jié)果的概率的影響,每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果:(1p)nk,這k次是n次中的任意k次,若是指定的k次,則概率為pk(1p)nk. 離散型隨機(jī)變量的期望與方差典例精析題型一 期望與方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例1】設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=16(k=1,2,3,4,5,6),求E(ξ),E(2ξ+3)和D(ξ),D(2ξ+3).【解析】E(ξ)=x1p1+x2p2+…+x6p6=,E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=10,D(ξ)=(x1E(ξ))2p1+(x2E(ξ))2p2+…+(x6E(ξ))2p6=3512,D(2ξ+3)=4D(ξ)=353.【點(diǎn)撥】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時(shí),首先要弄清其分布特征及分布列,再準(zhǔn)確運(yùn)用公式,特別是利用性質(zhì)解題.【變式訓(xùn)練1】袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求ξ的分布列、期望和方差。(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,試求a,b的值.【解析】(1)ξ的分布列為:ξ 0 1 2 3 4P所以E(ξ)=012+1120+2110+3320+415=,D(ξ)=()212+()2120+()2110+()2320+()215=.(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2=11,即a=177。(η)=aE(ξ)+b,所以當(dāng)a=2時(shí),由1=2+b,得b=2。當(dāng)a=2時(shí),由1=2+b,得b=4.所以 或題型二 期望與方差在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用【例2】 甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ξ、η,ξ和η的分布列如下:ξ 0 1 2Pη 0 1 2P試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.【解析】工人甲生產(chǎn)出的次品數(shù)ξ的期望和方差分別為:E(ξ)=0610+1110+2310=,D(ξ)=()2610+()2110+()2310=.工人乙生產(chǎn)出的次品數(shù)η的期望和方差分別為:E(η)=0510+1310+2210=,D(η)=()2510+()2310+()2210=.由E(ξ)=E(η)知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但D(ξ)D(η),可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.【點(diǎn)撥】期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周?chē)兓?,方差小說(shuō)明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定.【變式訓(xùn)練2】利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策,應(yīng)選擇的方案是    .【解析】利用方案AAAA4盈利的期望分別是:50+65+26=。70+26+16=。20+52+78=。98+82=.題型三 離散型隨機(jī)變量分布列綜合問(wèn)題【例3】(2010浙江)如圖,一個(gè)小球從M處投入,若投入的小球落到A,B,C,則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng).(1)已知獲得1,2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量ξ為獲得k(k=1,2,3)等獎(jiǎng)的折扣率,求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ)。(2)若有3人次(投入1球?yàn)?人次)參加促銷(xiāo)活動(dòng),記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次,求P(η=2).【解析】(1)由題意得ξ的分布列為ξ 50% 70% 90%p則E(ξ)=31650%+3870%+71690%=34.(2)由(1)可知,獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為316+38=~(3,916),則P(η=2)=C23(916)2(1916)=1 7014 096.【變式訓(xùn)練3】(2010北京市東城區(qū))已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次,三次正面均朝上的概率為127.(1)求拋擲這樣的硬幣三次,恰有兩次正面朝上的概率。(2)拋擲這樣的硬幣三次后,拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ).【解析】(1)設(shè)拋擲一次這樣的硬幣,正面朝上的概率為P,依題意有C33?P3=127,解得P=13.所以?huà)仈S這樣的硬幣三次,恰有兩次正面朝上的概率為P3(2)=C23(13)223=29.(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4.P(ξ=0)=C03(23)312=427。P(ξ=1)=C03(23)312+C1313(23)212=1027。P(ξ=2)=C1313(23)212+C23(13)22312=13。P(ξ=3)=C23(13)22312+C33(13)312=754。P(ξ=4)=C33(13)312=154.所以ξ的分布列為ξ 0 1 2 3 4PE(ξ)=0427+11027+213+3754+4154=32.總結(jié)提高,是概率意義下的平均。 E(ξ)是一個(gè)實(shí)數(shù),由ξ的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量ξ是可變的,可取不同值,而E(ξ)是不變的,它描述ξ取值的平均狀態(tài).(ξ)表示隨機(jī)變量ξ對(duì)E(ξ)的平均偏離程度,統(tǒng)計(jì)中常用標(biāo)準(zhǔn)差D(ξ)描述ξ的分散程度. 正態(tài)分布典例精析題型一 研究正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值【例1】 某正態(tài)曲線(xiàn)的密度函數(shù)是偶函數(shù),而且該函數(shù)的最大值為122π,求總體位于區(qū)間[4,2]的概率.【解析】由正態(tài)曲線(xiàn)的密度函數(shù)是偶函數(shù)知μ=0,由最大值為122π知σ=2,所以P(2≤x≤2)=P(μσ≤x≤μ+σ)= 6,P(4≤x≤4)=P(μ2σ≤x≤μ+2σ)= 4,所以P(4≤x≤2)=12( 6)= 9.【點(diǎn)撥】應(yīng)當(dāng)熟記:P(μσ≤X≤μ+σ)= 6。P(μ2σ≤X≤μ+2σ)= 4。P(μ3σ≤X≤μ+3σ)= 4.【變式訓(xùn)練1】設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(1(2)P(X≥5).【解析】因?yàn)閄~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(1(2)因?yàn)镻(X≥5)=P(X≤3),所以P(X≥5)=12[1P(3=12[1P(14=12[1P(μ2σ=12( 4)= 8.題型二 利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計(jì)某區(qū)間的概率【例2】 已知某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X~N(60,82)(單位:分),此次考生共有1萬(wàn)人,估計(jì)在60分到68分之間約有多少人?【解析】由題意μ=60,σ=8,因?yàn)镻(μσ所以P(52又此正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x=60對(duì)稱(chēng),所以P(60從而估計(jì)在60分到68分之間約有341 3人.【點(diǎn)撥】本題是教材變式題,將原題中單純(μσ,μ+σ)的概率考查結(jié)合了正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及概率的意義,還可將問(wèn)題變?yōu)?44,76)、(68,76)等區(qū)間進(jìn)行探討.【變式訓(xùn)練2】某人乘車(chē)從A地到B地,所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100),求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率.【解析】由μ=30,σ=10,P(μσ總結(jié)提高若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則X在一點(diǎn)上的取值概率為0,即P(X=a)=0,而{X=a}并不是不可能事件,所以概率為0的事件不一定是不可能事件,從而P(X(1)熟記P(μσ(2)充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng),從而在關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相同.②P(X【總結(jié)】2013年精品學(xué)習(xí)網(wǎng)為小編在此為您收集了此文章“高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案:排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案”,今后還會(huì)發(fā)布更多更好的文章希望對(duì)大家有所幫助,祝您在精品學(xué)習(xí)網(wǎng)學(xué)習(xí)愉快!
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