第3章-矩陣的分解-資料下載頁
2025-08-05 09:59本頁面
【正文】 存儲。矩陣 A的元素 a ij是一個正的數(shù)，它相應(yīng)于象素的灰度水平（ gray level） 的度量值。 由于一般來講，相鄰的象素會產(chǎn)生相近的灰度水平值，因此有可能在滿足圖像清晰度要求的條件下，將存儲一個 m n階矩陣需要存儲的m n個數(shù)減少到 n+m+1的一個倍數(shù)。 壓縮數(shù)字化圖形存儲量的方法主要是應(yīng)用矩陣的奇異值分解和矩陣范數(shù)下的逼近 。 如果圖象的數(shù)字矩陣 A的奇異值分解為： A=U?VT， 其展開式： 壓縮矩陣 A的方法是取一個秩為 k （ k?r） 的矩陣 Ak來逼近 矩陣 A。 Ak按如下方法選?。? HrrrH222H111 vuvuvuA ??? ???? ?HkkkH222H111k vuvuvuA ??? ???? ??有在秩為 k （ k?n） 的所有矩陣中 ， 矩陣 Ak所對應(yīng)的圖象和矩陣 A所對應(yīng)的圖象最相近 。 一般的 ， k越大圖象就越清晰 。經(jīng)典的方法是選取接近 k， 使 Ak 的存儲量比 A的存儲量減少20%。 存儲矩陣 Ak只需要存儲 k個奇異值， k個 m維向量 ui和 n維向量 vj的所有分量，共計 k（ m+n+1）個元素。 如果 m=n=1000， 存儲原矩陣 A需要存儲1000 1000個元素。取 k=100時，圖象已經(jīng)非常清晰了，這時的存儲量是 100（ 2022+1）=202200個數(shù)。 和矩陣 A比較，存儲量減少了 80%。 三、矩陣的奇異值分解和線性變換 TA 矩陣 A?C m n可以定義線性變換 TA ： C n ?C m 設(shè)矩陣的奇異值分解 A=U ?VH ，則將 U和 V的列分別取做空間 C m 、 C n的基，則變換 TA的矩陣為 ?: ??=VX ?C m ,則 TAX=(U ?VH )VX=U(?X)=U ????????????????02211rr xxx????變換 TA在單位球上的象： 定理 3?16 （ P?88） 四、矩陣的極分解（ Polar Deposition） 方陣的極分解 設(shè)矩陣 A?C n n ，則矩陣 A的奇異值分解 : A=U?VH=U ?（ UH U） VH = （ U ? UH ） UVH=PQ P是半正定的 Hermite 矩陣， P相似于 ? 。 Q是酉矩陣 定理 3?17 （ P?89） 方陣極分解的意義和應(yīng)用 描述變換 Y=AX的拉伸和扭曲 例題 1 （ P?90） 求矩陣 A= 的極分解， 依此討論變換 Y=AX的幾何特性。 ??????3023??????????????25232325PQA?????????????23212123解
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