畢業(yè)論文終稿_矩陣分解的初等方法-資料下載頁
2025-08-20 19:16本頁面
【正文】 有 ；其中是半正定 Hermite 矩陣，U 是酉矩陣。矩陣分解的應用與舉例例1：設矩陣，求。解：對矩陣作如下的初等變換 所以的初等因子為 。所以的Jardon標準形為 從而得 即 例2：設A為n階實矩陣，E為n階單位矩陣。證明：，其中i為虛數單位。解：存在可逆的酉矩陣T，使得從而有由于為n階實矩陣，則的特征多項式為n次實多項式，又因為實多項式的復根是成對共軛出現，因此的復特征值出是成對共軛出現的。①當的所有特征值都不是（或），則的特征值不存在（或）。 則此時 ，且有 ， 而此時 從而得 ②當的特征值中存在有（或），則一定有一特征值（或）存在。并且有幾個（或）存在相應的就有幾個（或）存在。又由于 ，從而 知 （）中不為零的個數（）中不為零的個數從而可得得證。例3：設為階矩陣，且，證明：秩+秩解 ：由于，則因此 為的化零多項式從而有 所以的最小多項式的根只能為1或1又的特征多項式與最小多項式有相同的根，因此的特征值為1或1假設的特征值中有個1（或1），則的另外的個特征值必為1（或1）。且存在正交矩陣，使得 則有 因此 同理可得 則有 從而有 秩+秩 得證。例4：設是秩為的級矩陣。 證明: 存在秩為的方陣和使得。證明： 因為是秩為的級矩陣，由性質2,得 存在可逆矩陣、使得現令、則有得證。例5：設，求。解：由于， 則其中，則有所以 例6：設為級矩陣, 求證: (1) 存在正整數使得秩() 秩()。 (2) 若存在正整數使得秩()秩(), 則對于任意正整數, 秩()秩()。證明 :存在酉矩陣，使得 ，其中，且為矩陣的特征值。不妨假設 、則可得，為可逆矩陣，因此對任意的正整數，有， （2）又對任意，且， （3）因此可令，則由（3）式，知 （4）由（4），得 對任意的，有 從而由（2）、（4），得秩秩且對任意的正整數，也有秩秩 得證。 通過上述的討論，對矩陣的分解有了一定的認識。參考文獻:[1] 史榮昌,.[2] 劉丁酋. 矩陣分析[M]. 武昌: 武漢大學出版社, 2003. 8. [3] 廖安平,[M].長沙: 湖南大學出版社,. [4] 張凱院,[M].西安:西北工業(yè)大學出版社,．[5] 關紅鈞, 階矩陣的三角分解[J].沈陽航空工業(yè)學院學報,18:4(2001),3840. [6] 馮天祥,[J].西南民族學院學報,20:4(2001),418421. [7] 張賢達. 矩陣分析及應用[M]. 北京: 清華大學出版社, 2004. [8] 劉慧, 袁文燕, 姜冬青. 矩陣論及應用[M]. 北京: 化學工業(yè)出版社, 2003. [9] 方保镕, 周繼東, 李醫(yī)民. 矩陣論[M]. 北京: 清華大學出版社, 2004. [10] 吳強. 基于矩陣初等變換的矩陣分解法[J]. 數學理論與應用, 20:4(2000), 105107.26
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