畢業(yè)論文終稿_矩陣分解的初等方法-資料下載頁
2025-08-20 19:16本頁面
【正文】 有 ；其中是半正定 Hermite 矩陣，U 是酉矩陣。矩陣分解的應(yīng)用與舉例例1：設(shè)矩陣，求。解：對矩陣作如下的初等變換 所以的初等因子為 。所以的Jardon標(biāo)準(zhǔn)形為 從而得 即 例2：設(shè)A為n階實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣。證明：，其中i為虛數(shù)單位。解：存在可逆的酉矩陣T，使得從而有由于為n階實(shí)矩陣，則的特征多項(xiàng)式為n次實(shí)多項(xiàng)式，又因?yàn)閷?shí)多項(xiàng)式的復(fù)根是成對共軛出現(xiàn)，因此的復(fù)特征值出是成對共軛出現(xiàn)的。①當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀疾皇牵ɑ颍?，則的特征值不存在（或）。 則此時(shí) ，且有 ， 而此時(shí) 從而得 ②當(dāng)?shù)奶卣髦抵写嬖谟校ɑ颍瑒t一定有一特征值（或）存在。并且有幾個(gè)（或）存在相應(yīng)的就有幾個(gè)（或）存在。又由于 ，從而 知 （）中不為零的個(gè)數(shù)（）中不為零的個(gè)數(shù)從而可得得證。例3：設(shè)為階矩陣，且，證明：秩+秩解 ：由于，則因此 為的化零多項(xiàng)式從而有 所以的最小多項(xiàng)式的根只能為1或1又的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式有相同的根，因此的特征值為1或1假設(shè)的特征值中有個(gè)1（或1），則的另外的個(gè)特征值必為1（或1）。且存在正交矩陣，使得 則有 因此 同理可得 則有 從而有 秩+秩 得證。例4：設(shè)是秩為的級矩陣。 證明: 存在秩為的方陣和使得。證明： 因?yàn)槭侵葹榈募壘仃?，由性質(zhì)2,得 存在可逆矩陣、使得現(xiàn)令、則有得證。例5：設(shè)，求。解：由于， 則其中，則有所以 例6：設(shè)為級矩陣, 求證: (1) 存在正整數(shù)使得秩() 秩()。 (2) 若存在正整數(shù)使得秩()秩(), 則對于任意正整數(shù), 秩()秩()。證明 :存在酉矩陣，使得 ，其中，且為矩陣的特征值。不妨假設(shè) 、則可得，為可逆矩陣，因此對任意的正整數(shù)，有， （2）又對任意，且， （3）因此可令，則由（3）式，知 （4）由（4），得 對任意的，有 從而由（2）、（4），得秩秩且對任意的正整數(shù)，也有秩秩 得證。 通過上述的討論，對矩陣的分解有了一定的認(rèn)識。參考文獻(xiàn):[1] 史榮昌,.[2] 劉丁酋. 矩陣分析[M]. 武昌: 武漢大學(xué)出版社, 2003. 8. [3] 廖安平,[M].長沙: 湖南大學(xué)出版社,. [4] 張凱院,[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,．[5] 關(guān)紅鈞, 階矩陣的三角分解[J].沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),18:4(2001),3840. [6] 馮天祥,[J].西南民族學(xué)院學(xué)報(bào),20:4(2001),418421. [7] 張賢達(dá). 矩陣分析及應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004. [8] 劉慧, 袁文燕, 姜冬青. 矩陣論及應(yīng)用[M]. 北京: 化學(xué)工業(yè)出版社, 2003. [9] 方保镕, 周繼東, 李醫(yī)民. 矩陣論[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004. [10] 吳強(qiáng). 基于矩陣初等變換的矩陣分解法[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 20:4(2000), 105107.26
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