河南省專升本高等數(shù)學(xué)真題(帶答案詳解)-資料下載頁(yè)
2025-08-05 09:11本頁(yè)面
【正文】 故..解：. 求全微分.解：因,且它們?cè)诙x域都連續(xù)，從而函數(shù)可微，并有.2，其中區(qū)域由直線圍成.解：積分區(qū)域如圖所示：把看作Y型區(qū)域，且有故有..解：這是一階線性非齊次微分方程，它對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為，設(shè)原方程的解為代入方程得, 即有，所以, 故原方程的通解為.（考慮區(qū)間端點(diǎn)）.解：這是規(guī)范缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 因, 當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的； 當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)是發(fā)散的；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)化為，顯然是發(fā)散的。 故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.四、應(yīng)用題（每小題7分，共14分），增加三面墻圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,，其總長(zhǎng)最小.解：場(chǎng)地如圖所示：設(shè)增加的三面墻的長(zhǎng)度分別為；總長(zhǎng)為，則有，從而，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問(wèn)題.令得唯一駐點(diǎn)，且有，所以是極小值點(diǎn)，即為最小值點(diǎn),此時(shí).故，另增的三面墻的長(zhǎng)度分別為，時(shí)，增加三面圍墻的總長(zhǎng)最小.，其中3，求繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：平面圖形如圖所示:把看作Y區(qū)域，且,代入Y型區(qū)域繞所成旋轉(zhuǎn)一周所得體積公式有.五、證明題（6分），其中函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且，證明在開(kāi)區(qū)間內(nèi),方程有唯一實(shí)根. 證明：因?yàn)樵谏嫌幸饬x，所以在上連續(xù)，且有,，由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的零點(diǎn)定理知，在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；又因?yàn)?，；故在?nèi)有唯一實(shí)根.14 /
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