數(shù)值計(jì)算chapter2-非線性方程求根-資料下載頁(yè)
2025-08-05 07:45本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ?? ? ,xf xfxF 0???則 就是 的單根， ?x ? ? 0?xF 由⑴，此時(shí)再對(duì) 用牛頓迭代法 ? ? 0?xF求 就具有二階收斂速度了。 ?x可以證明 弦截法的收斂速度為 . 而 單點(diǎn)弦截法的收斂速度為線性收斂 . 47 二、加速收斂方法 （ 埃特肯 Aitken算法 ） 只介紹一種一般的線性收斂序列 的收斂的加速方法。 ? ?kx顯然的，即使是收斂的迭代過程，如果迭代次數(shù)很多，也就是 收斂速度太慢，計(jì)算工作量就很大，因此，下面討論加速迭代收 斂性的方法。 48 設(shè) 是方程的根的某個(gè)近似值， kx則 ,xxk 0?? ?由迭代公式， 相臨兩次迭代的迭代值為 ? ?? ?????????121kkkkxgxxgx由中值定理，有 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ???????????????????????????11121kkkkkkkkxxgxgxgxxxxgxgxgxx??（ 在 和 之間， 在 和 之間） k??xkx 1?k? 1?kx ?x假定 在 x變化時(shí)改變不大 ， ? ?xg? 可令 ? ? ,Lxg ?? 于是可得， 當(dāng) k充 分大時(shí)，有 121????????????kkkkxxxxxxxx所以 ? ?kkkkkk xxxxxxx?????????1221249 這樣又獲得了一個(gè)由 確定的新的近似值，只要 k充 21 ?? kkk xxx 、分大， 使得 121????????????kkkkxxxxxxxx 得到較好滿足， 根據(jù)這個(gè)思想，在收斂速度 較慢的序列 的基礎(chǔ)上，通過算式 ? ?kx? ?kkkkkk xxxxxxx~????????12212就有可能產(chǎn)生一個(gè)收斂速度較快的新序列 ? ?.x~k這種加速方法稱為 埃特肯（ Aitken） 加速方法。 需要指出的是， 由于上面的方法需滿足 在 x變化時(shí)改變不大 , ? ?xg?所以當(dāng) 變化幅度很大時(shí)，埃特肯加速也可能失效。 ? ?xg?近似值就有可能比 更好的逼近 2?kx ,x?那么這個(gè)新的 50 將埃特肯加速方法使用于迭代法，得計(jì)算公式如下： ? ?? ?? ??????????????????kkkkkkkkkkkxyzxyxxygzxgy221（迭代） （迭代） （加速） ? ??,k 210?上式稱為 埃特肯算法 。 例 2 利用埃特肯算法求 0123 ??? xx 在隔根區(qū)間 內(nèi)的根 , ? ?5141 .,.要求精確到 .410?解 用簡(jiǎn)單迭代法求方程的滿足精度的近似根的解法前面已解， 此僅寫出結(jié)果如下： 51 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kkx41 1031 ?? ??? kk xx02022 .xx ??0 0 9012 .xx ??0 0 4023 .xx ??0 0 2034 .xx ??0009045 .xx ??0004056 .xx ??0002067 .xx ??00007078 .xx ??489 1031 ???? xx得 ..x 46561??52 方程等價(jià)形式為 ? ? 3 2 1??? xxxg? ??,kxx kk 21013 21 ????相應(yīng)的迭代公式為 下面利用埃特肯算法求： 埃特肯算法為 ? ????????????????????kkkkkkkkkkkxyzxyxxyzxy211213 23 2? ??,k 210?計(jì)算結(jié)果列表如下： 53 kkx ky kz41 1031 ?? ??? kk xx0 1 2 401 1031 ???? xx所以 ..x 46561??由上題看出， 為達(dá)到同樣的精度， 簡(jiǎn)單迭代法迭代了 9次， 而 用埃特肯加速方法只需迭代兩次即可。 54 例 3 求方程 ? ? 02 ??? ? xxxf 在 內(nèi)的根 的近似值，精確 ? ?10, ?x到 .xxkk 41 10 ?? ??解 下面我們分別用： 簡(jiǎn)單迭代法 ? ??,kxkxk 21021 ?? ??牛頓迭代法 ? ??,klnxxxkkxxkkk 21022121 ????????埃特肯算法 ? ?? ??,kxyzxyxxzykkkkkkkykxkkk21022221????????????????????三種方法求滿足精度要求的近似根，計(jì)算結(jié)果列表如下： 取初始近似值 ,.x 500 ?55 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3 k kx k k kxkx 0 1 2 3 k kx ky kzk kx 0 1 2 3 從表中看出，牛頓迭代法和埃特肯算法雖然具有相同的收斂速度 , 但是埃特肯算法沒有求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。 56 *延伸閱讀 Richardson外推算法簡(jiǎn)介 一、理查德森 (Richardson)外推法 理查遜 (Richardson)外推法是數(shù)值方法中常用的一種加速收斂技術(shù)。 0)()()()(1121111121??????????????????ppphOhChChChhhhkkppkpp k???其中展開式：之間的截?cái)嗾`差有漸近和，若去逼近量的算法設(shè)用步長(zhǎng)為57 ?? ??????????kpkppprhCrhCrhCrhrrrhh)()()()(,01211211則滿足代替，用中的將展開式?? ????????????kk pppkpppppphrrChrrChrrhrr)()())()((11212111211）（減得到：乘原式兩端再與此式相用)()( 121 211 ppkpp hOhChChCh k ????????? ??)(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk??????????????????????????????? ??整理后得到： 58 ）（得到的新公式，記為做了一次外推，和這個(gè)過程我們稱為用hrhh211 )()(???111)()()( 112 pprhrrhh??????)(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk??????????????????????????????? ??)()( 232 322 ppkpp hOhChChCh k ????????? ??顯然有。的截?cái)嗾`差階為逼近則類似地，若定義1)(1)()()(11???????????mmmpmpmpmmhhrhrrhh59 作業(yè) P29 1， 2， 3， 5， 6， 8， 9。
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