【正文】 ??? , 從而迭代格式 )()1(1 kkk xwgxwx ???? 比迭代格式 )(1 kk xgx ?? 收斂快 . 數(shù)值實(shí)例 通過以上四種方法都可以解決非收斂不動點(diǎn)迭代格式的問題，現(xiàn)對上述四種給出幾個(gè)不滿足不動點(diǎn)迭代收斂定理的實(shí)例，并對結(jié)果進(jìn)行分析和比較 . 例 求方程 033 ???xx 在區(qū)間 ??2,1 內(nèi)的根，要求精度為 510? ． 解 對于方程 033 ???xx ，將它化為 33??xx ，所以 3)( 3 ??xxg ，則當(dāng) ? ?2,1?x 時(shí)，13)( 2 ??? xxg ，不滿足定理 的條件 (2),因此不能由 ()的迭代格式計(jì)算 . 下面分別用反函數(shù)方法、牛頓（ Newton）迭代法、 Steffensen 迭代法、松弛法對迭代函數(shù)進(jìn)行修改，得到相應(yīng)新的迭代函數(shù)，并用 C 語言編程上機(jī)計(jì)算 . (1)反函數(shù)法：迭代格式為 ),(11 kk xgx ?? ? 即 .)3( 311 ??? kk xx 取初值 ?x ，運(yùn)用程序見附錄 1． (2)牛頓 （ Newton） 迭代法：迭代格式為 ,)(1 )()()(1 )(1 k kkkkkkk xg xgxxgxg xgxxx ?? ????????? 即 .13 3231 )3( 23231 ???? ????? kkkkkkk xxxxxxx 取初值 ?x ，運(yùn)用計(jì)算程序見附錄二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式為 ),( kk xgy ? ),( kk ygz ? ? ? ? ? .)(2))(( )())(())((2221 kkk kkkkkk kkkk xxgxgg xgxggxggxyz yzzx ?? ????? ???? 即 ,33?? kk xy ,3)3( 33 ??? kk xz 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 18 ? ? .)3(23)3( )3(3)3(3)3( 3332333331 kkk kkkk xxx xxxx ????? ????????? 取初值 ?x ，運(yùn)用如下程序可以得到結(jié)果： (4)松弛法：迭代格式為 ),()1(1 kkk xwgxwx ???? 即 ),3()1( 31 ????? kkk xwxwx 當(dāng) ? ?2,1?x 時(shí)， 13)( 2 ??? xxg ，且 3)(min ?? xg ， 12)(max ?? xg ，所以 w 的取值范圍為01122 ???? w ，現(xiàn)取 ?x ， ??w ，運(yùn)用 C 語言編程可得到起結(jié)果． 以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的 Newton迭代法收斂的最快 . 表 例 的四種方法的計(jì)算結(jié)果 迭代次數(shù) 反函數(shù)法 Newton 法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例 求方程 0124 ??? xx 在區(qū)間 ??2,1 內(nèi)的根，要求精度為 510? . 解 對于 方程 0124 ??? xx ，將它化為 2121 4 ?? xx ，所以 2121)( 4 ?? xxg ，則當(dāng)? ?2,1?x 時(shí)， 14)( 3 ??? xxg ，因此不滿足不動點(diǎn)迭代收斂條件，為求此次方程的解，下面同樣分別用本章介紹的四種方法求解此方程 . (1)反函數(shù)法：迭代格式為 ),(11 kk xgx ?? ? 將方程變?yōu)榈袷綖? ? ? .12 411 ??? kk xx 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 19 取初值 ?x ，運(yùn)行附錄 5 的相應(yīng)程序即可得計(jì)算結(jié)果 . (2)牛頓（ Newton）迭代法 :迭代格式為 ,)(1 )()()(1 )(1 k kkkkkkk xg xgxxgxg xgxxx ?? ????????? 代人例題中的數(shù)據(jù) .12 212321212134341 ?????????? ?????kkkkkkk xxxxxxx 取初值 ?x ，運(yùn)行附錄 6 的程序即可的計(jì)算結(jié)果 . (3)Steffensen 迭代法：迭代格式為 ),( kk xgy ? ),( kk ygz ? ? ? ? ? .)(2))(( )())(())((2221 kkk kkkkkk kkkk xxgxgg xgxggxggxyz yzzx ?? ????? ???? 代入例題中的數(shù)據(jù) 有 ,2121 4 ??kk xy ,2121212144 ??????? ?? kk xz .2121221212121212121212121212121214442444441kkkkkkkxxxxxxx??????? ????????? ??????????????? ????????? ????????? ??? 取初值 ?x ，運(yùn)行附錄 7 即可算得計(jì)算結(jié)果 . (4)松弛法：迭代格式為 ),()1(1 kkk xwgxwx ???? 代入例題中的數(shù)據(jù)有 .2121)1( 41 ?????? ????? xwxwx kk 當(dāng) ? ?2,1?x 時(shí)， 14)( 3 ??? xxg ， 13224)( 3m a x ????? xg ，所以 w 取值在 01322 ???? w ，現(xiàn)取 ??w ， 初值 ?x ，運(yùn)行附錄 8 的程序即可得到計(jì)算結(jié)果 . 以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的 Newton迭代法收斂的最快． 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 20 表 例 的四種迭代結(jié)果 迭代次數(shù) 反函數(shù)法 Newton 法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例 求方程 032 ???xex 在區(qū)間 ??1,0 內(nèi)的根，要求精度為 510? . 解 將方程化為等價(jià)形式 xex 23?? ，那么此時(shí) xexg 23)( ?? .當(dāng) ? ?1,0?x 時(shí)，12)( ???? xexg ，因此不滿足不動點(diǎn)迭代收斂條件 .按下面這四種方法處理可以得到近似解 . (1)反函數(shù)法：首先由反函數(shù)處理方法可得到迭代格式 ,223ln1 ?????? ??? kk xx 取初值 ?x ，運(yùn)用程序見附錄 9. (2)牛頓（ Newton）迭代法：由牛頓迭代法得到迭代格式 ,21 321 kkxxkkk eexxx ? ????? 取初值 ?x ，運(yùn)用程序見附錄 10. (3)Steffensen 迭代法：由 Steffensen 迭代法得到迭代格式 ,23 kxk ey ?? ,23 22 ?????? ??? kxek ez ? ? ? ?? ?? ? ,)23(223232323223231kxeeek xee eex kkxkxkx???????????? 取初值 ?x ，運(yùn)用程序見附錄 11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式為 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 21 ? ?,23)1(1 xkk ewxwx ????? 當(dāng) ? ?1,0?x 時(shí)， 122)( ??????? xexg ， exg 2)(min ??? ，所以 w 取 ew 21 20 ??? 之間的值，現(xiàn)取 ?w ，初值 ?x ，運(yùn)用程序見附錄 12. 以上 這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件定理的不動 點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的Newton 迭代法收斂的最快． 表 例 的四種迭代結(jié)果 迭代次數(shù) 反函數(shù)法 Newton 法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 22 結(jié) 論 非線性代數(shù)問題的解法是現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題 ，而不動點(diǎn)迭代算法是求解非線性方程近似根的一個(gè)重要方法 . 本文通過搜集大量資料了解了非線性方程求解的不動點(diǎn)迭代算法的的研究背景，以及研究價(jià)值，然后通過介紹不動點(diǎn)迭代法的基本思想，對不動點(diǎn)迭代法的收斂性、收斂速度以及加速不動點(diǎn)迭代算法的收斂性進(jìn)行了研究，并結(jié)合實(shí)例經(jīng)行了比較分析，對于不滿足收斂條件的情況，本文通過翻閱大量資料和文獻(xiàn)，歸納總結(jié)出了四種處理方法，分別為反函數(shù)法、牛頓（ Newton)迭代法、 Steffensen 迭代法、松弛法，使得不滿足收斂不動點(diǎn)迭代格式的非線性方程的求解得到了解決，同樣也給出了相關(guān) 實(shí)例進(jìn)行了比較和驗(yàn)證 . 具體來說，對于一般的非線性方程，只要滿足第 2 章定理 中的條件 (1)和條件(2)，那么對于任意的初始值 ? ?bax ,0? ，則由不動點(diǎn)迭代 ????? ? ,2,1),( 1 kxgx kk 產(chǎn)生的迭代序列都收斂于 g 在 ? ?ba, 的唯一不動點(diǎn) p ，那么要考慮的是光是收斂還不能很好的解決一個(gè)迭代效率問題，于是本文還致力 研究了不動點(diǎn)迭代法的收斂速度，以及加速不動點(diǎn)迭代法 . 而對于一般不滿足第 2 章定理 中的條件（ 1）或者條件（ 2）的情況，那么有不動點(diǎn)迭代算法產(chǎn)生的迭代序列不是收斂的，就不能求出函數(shù)的近似解，那么本文通過閱讀大量的資料以及文獻(xiàn)，總結(jié)出了四種比較好用的處理方法，并且通過 3 個(gè)實(shí)例，可以發(fā)現(xiàn)這幾種方法不僅能得到收斂的迭代序列，而且收斂的速度也比較快，通過分析比較這四種方法，牛頓迭代法的迭代效果最好 .這也是本文的亮點(diǎn)所在 . 由于諸多條件限制，本文也有很多不足之處，比如說沒有足夠多的實(shí)例來充分的證明第 2 章的定理 與定理 ，并且對于第 3 章給出的 3 個(gè)實(shí)例中的精度要求較低，有待于繼續(xù)研究，若有條件，可以更深層次的研究非線性方程組的不動點(diǎn)算法及其應(yīng)用 . 長沙學(xué)院 畢業(yè) 論文 23 參考文獻(xiàn) [1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義 .數(shù)值分析 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 2022,32(2)： 38 [2] 林成森 .數(shù)值分析 [M].北京：科學(xué)出版