【正文】 [jw[I]] then f1[j]:=true。 19F:=f1。 End。 B:求可以放入的最大價(jià)值。 F[I,j] 為容量為 I 時(shí)取前 j 個(gè)背包所能獲得的最大價(jià)值。 F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j1] + p [ j ], f[ i,j1] } C:求恰好裝滿(mǎn)的情況數(shù)。 DP: Procedure update。 var j,k:integer。 begin c:=a。 for j:=0 to n do if a[j]0 then if j+now=n then inc(c[j+now],a[j])。 a:=c。 end[9]。203 解 01 背包問(wèn)題的算法比較與分析這四種算法都得到了驗(yàn)證，運(yùn)行結(jié)果證明了算法設(shè)計(jì)是可行的，正確的。通過(guò)對(duì) O1 背包問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)及時(shí)間復(fù)雜度分析可以看出。無(wú)論采用貪婪法還是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，都是在已知約束條件下求解最大值建立數(shù)學(xué)模型算法實(shí)現(xiàn)的過(guò)程；但算法具體實(shí)現(xiàn)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的建立要用到遞歸和棧操作。比較貪婪法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。前者的時(shí)間復(fù)雜度低于后者，從耗費(fèi)上而言?xún)?yōu)于后者。但后者的實(shí)現(xiàn)算法可讀性要優(yōu)于前者。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是把原問(wèn)題分解為一系列子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題中求出原問(wèn)題的解?；厮萜鋵?shí)就是窮舉，窮舉所有的解，找出解中最優(yōu)的值?；厮莘ㄔ诎瑔?wèn)題的所有解的解空間樹(shù)中，按照深度優(yōu)先的策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹(shù)。回溯法的基本思路是：確定解空間，建立解空間樹(shù)，用深度優(yōu)先搜索算法遞歸搜索解空間樹(shù)，并同時(shí)注意剪枝,常用的分枝一限界法有最小耗費(fèi)法，最大收益法。FIFO(先進(jìn)先出)法等。01 背包問(wèn)題的分枝一限界算法可以使用最大收益算法。該算法跟回溯法類(lèi)似。但分枝限界法需要 O( )n2的解空間。故該算法不常用在背包問(wèn)題求解。遺傳算法是計(jì)算數(shù)學(xué)中用于解決最優(yōu)化的搜索算法，是一種進(jìn)化算法。對(duì)于一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，一定數(shù)量的候選解（稱(chēng)為個(gè)體）的抽象表示（稱(chēng)為染色體）的種群向更好的解進(jìn)化。通常解用二進(jìn)制 0 和 1 表示，進(jìn)化從一個(gè)個(gè)體發(fā)生，然后一代一代發(fā)生。在每一代中，該種群的價(jià)值被評(píng)估，從當(dāng)前種群中隨機(jī)地選擇多個(gè)個(gè)體（基于它們的適應(yīng)度） ，通過(guò)自然選擇。回溯法比分枝限界在占用內(nèi)存方面具有優(yōu)勢(shì)?；厮莘ㄕ加玫膬?nèi)存是 0(解空間的最大路徑長(zhǎng)度)，而分枝限界所占用的內(nèi)存為 0(解空間大小)。對(duì)于一個(gè)子21集空間，回溯法需要 0(n)的內(nèi)存空間，而分枝限界則需要 0(2n)的空間。雖然最大收益或最小耗費(fèi)分枝限界在直覺(jué)上要好于回溯法，并且在許多情況下可能會(huì)比回溯法檢查更少的結(jié)點(diǎn)，但在實(shí)際應(yīng)用中，它可能會(huì)在回溯法超出允許的時(shí)間限制之前就超出了內(nèi)存的限制。為了更直觀更有效地分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃法回溯法兩種算法，下面分別對(duì)它們的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試中,每個(gè) 01 背包問(wèn)題的效益和重量分別為隨機(jī)產(chǎn)生的兩組數(shù)據(jù),其取值范圍為[0,999],背包容量定為 1125。為便于各算法間進(jìn)行比較，測(cè)試之前首先把物品按價(jià)值重量比的非增順序排序。每次測(cè)試將程序運(yùn)行 100 次所得時(shí)間為運(yùn)行 100 次的平均值。測(cè)試結(jié)果如下表所示 [18]。平均計(jì)算時(shí)間問(wèn)題規(guī)模 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法 回溯法5 10 15 20 25 50 100 200 從表中的測(cè)試結(jié)果可以看出 當(dāng)問(wèn)題規(guī)模較小時(shí)，三種方法都有較好的穩(wěn)定性，計(jì)算時(shí)間都相差不多。隨著問(wèn)題規(guī)模的增大，各算法的計(jì)算時(shí)間都在增大， 其中遞歸法的計(jì)算時(shí)間增長(zhǎng)速度最快，當(dāng)問(wèn)題規(guī)模為 50，100 和 200 時(shí)，其計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)以致失去利用該法求解的意義，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與回溯法則相對(duì)穩(wěn)定且計(jì)算時(shí)間也相差不多，但是當(dāng)問(wèn)題規(guī)模大到一定程度，回溯法要優(yōu)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。通過(guò)以上對(duì) 01 背包問(wèn)題的求解分析，我們可以看到各種算法設(shè)計(jì)方法有各內(nèi)不同的特點(diǎn)，針對(duì)不同的問(wèn)題領(lǐng)域，它們有不同的效率，對(duì)于求解 01 背包問(wèn)題，各算法的時(shí)問(wèn)復(fù)雜度、優(yōu)缺點(diǎn)以及改進(jìn)方法的比較如下表所示 [19]:動(dòng)態(tài)規(guī)劃 O(min{nc, }）n2可求得最優(yōu)決 策序列 速度較慢 建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃 遞歸方程回溯法 O(n ）n能夠獲得最優(yōu) 解 時(shí)間復(fù)雜度較 高判斷右子樹(shù)時(shí)，按效率密度vi/wi 對(duì)剩余對(duì)象排序22分枝限界法 O( ）n2速度較快，易求解占用的內(nèi)存較大，效率不高最大收益或最小消耗分枝限界法，F(xiàn)IFO法遺傳算法 O(n ）n能夠解決傳統(tǒng)算法不能解決的問(wèn)題，能夠獲得最優(yōu)解速度較慢，算法不成熟基于懲罰函數(shù)修正方法和譯碼方法4 總結(jié)與展望 本文就回溯法，分枝限界法，遺傳算法這 4 種求解 01 背包問(wèn)題的方法進(jìn)行研究比較，全方位的了解背包問(wèn)題在實(shí)現(xiàn)的方法,以及各方法的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，通過(guò)比較，了解哪種方法是在什么樣的情況下是最實(shí)用的方法，然后在以后的實(shí)際運(yùn)用中針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，找到最簡(jiǎn)單的方法解決 01 背包問(wèn)題。 當(dāng)然目前存在越來(lái)越多的算法來(lái)研究 01 背包問(wèn)題，比如蟻群算法、微粒群算法等群體智能算法在 01 背包問(wèn)題求解方面具有的較好收斂速度、健壯性、穩(wěn)定性、,針對(duì)群體智能算法在求解 01 背包問(wèn)題過(guò)程中所出現(xiàn)的缺陷,提出了群體智能算法在 01 背包問(wèn)題，還有一寫(xiě)混合的多有算法來(lái)解決 01 背包問(wèn)題等等01 背包問(wèn)題的求解方法研究已經(jīng)成為了當(dāng)前眾多科學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)，這不僅在于其內(nèi)在的復(fù)雜性有著重要的理論價(jià)值，同時(shí)也在于它們能在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛的應(yīng)用。比如資源分配、投資決策、裝載設(shè)計(jì)、公交車(chē)調(diào)度等一系列的問(wèn)題都可以歸結(jié)到組合優(yōu)化問(wèn)題中來(lái)。但是，往往由于問(wèn)題的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了計(jì)算機(jī)在有效時(shí)間內(nèi)的計(jì)算能力，使問(wèn)題的求解變?yōu)楫惓５睦щy。尤其對(duì)于 NP完全問(wèn)題，如何求解其最優(yōu)解或是近似最優(yōu)解便成為科學(xué)的焦點(diǎn)之一。 23參考文獻(xiàn)[1] 王曉東.《計(jì)算機(jī)算法研究與分析》.電子工業(yè)出版社.[2] 著，吳偉昶，方世昌等譯.《算法設(shè)計(jì)技巧與分析》. 電子工業(yè)出版社, 2022. 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