【導(dǎo)讀】并掌握從事科學(xué)研究的一般方法和基本技能。等專業(yè)知識(shí)的理解，完成基于C++的飛行仿真算法開(kāi)發(fā)。完成GSL代碼由C到C++轉(zhuǎn)化.應(yīng)用VC++完成GSL的Lib和DLL多種應(yīng)用開(kāi)發(fā).

　　

【正文】 uble amp。 xx。//存放自變量 vector double amp。 yy。/存放因變量 ............... public: CBaseInterp(interp_tableamp。 itable)。 //在第 i 維自變量中尋找 x 所對(duì)應(yīng)的下標(biāo)，二分法 size_t Locate(const doubleamp。 x, const size_tamp。 i)。 //在第 i 維自變量中尋找 x 所對(duì)應(yīng)的下標(biāo) , 使用加速器 ,局部二分法 size_t Hunt(const doubleamp。 x, const size_tamp。 i)。 //用戶接口 double Interp(const double* x, const size_tamp。 size)。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 24 //派生類必須重寫(xiě)此函數(shù)，返回插值結(jié)果 double virtual RawInterp(const vectordoubleamp。 idpVar, const vectorsize_tamp。 jlo) = 0。 }。 線性插值 最簡(jiǎn)單的插值算法是一維線性插值。插值公式如下 101 0010 1 yxx xxyxx xxy F it ?????? (31) 比如對(duì)函數(shù)在區(qū)間 ]1,1[? 中選取等距的 6 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行采樣，然后使用采樣點(diǎn)和采樣值進(jìn)行線性插值。下圖中是原函數(shù)和插值函數(shù)的圖像對(duì)比。 圖 35 一維線性插值 圖 36 一維線性 插值誤差 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 25 可以看到線性插值只需要兩個(gè)點(diǎn)即可進(jìn)行插值，計(jì)算量很小，速度是所有插值算法中最快的，可是誤差卻比較大，而且插值函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，插值曲線不光滑。線性插值和 1 階拉格朗日插值等價(jià)，但是由于線性插值是最常用的插值算法，為了提高速度，這里單獨(dú)作為一個(gè)類來(lái)設(shè)計(jì)。 拉格朗日插值 拉格朗日插值屬于多項(xiàng)式插值，其一維 n 點(diǎn)插值公式如下： ? ???? ??? nknkiikik i yxxxxyF it0 0 (32) n 維 n 點(diǎn)插值公式如下： ????????? ?????????? ????? ??? ???個(gè)個(gè)nnkii ikinnkii ikinkiikikinnknknknnnn nnnnn xxxxxxxxyxxxxy F i t????????????????????????????????????? ??????????????? 002010002222 2221111 1112211 (33) 上述 n 維插值公式翻譯成代碼的難點(diǎn)是連乘和連加的個(gè)數(shù)不確定，是個(gè)變量，用for 循環(huán)是很難完成的。這里使用遞歸算法實(shí)現(xiàn)。如下 圖所示，其中 mulRes 為 n個(gè)連乘的結(jié)果。 圖 310 拉格朗日遞歸算法 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 26 拉格朗日插值類的接口非常簡(jiǎn)單，大致如下： class CPolyLagrangeInterp : public CBaseInterp { public: CPolyLagrangeInterp(const interp_tableamp。 interp_data)。 virtual ~CPolyLagrangeInterp()。 private: virtual double RawInterp(const vectordoubleamp。 idpVar, const vectorsize_tamp。 jlo)。 double Mul(.........)。 //連乘 double Add(size_t next)。 //連加 .............. }。 三次樣條插值 三次樣條插值的優(yōu)點(diǎn)是可以使插值曲線在插值區(qū)間內(nèi)部和端點(diǎn)出一階導(dǎo)數(shù)光滑，二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一維插值公式如下： 39。39。 139。39。1 ?? ???? jjjj DyCyByAyy (34) 其中 11jjj xx xxA ????? (35) jjjxx xxAB ??????11 (36) 213 ))((61 jj xxAAC ??? ? (37) 213 ))((61 jj xxBBD ??? ? (38) CPolyCubicSpline 重載插值基類中的 RawInterp 函數(shù)，并在其中實(shí)現(xiàn)上述算法。接口不再羅列。 插值接口 插值接口中使用了一個(gè)選擇插值方法的枚舉結(jié)構(gòu)體，如下： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 27 enum InterpMethod { /** 不插值 , 當(dāng) x(i) = x = x(i+1), 返回離 x 較近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，當(dāng) x 為中點(diǎn)時(shí)，取右邊的點(diǎn) */ DISCRETE, /** 當(dāng) x(i) = x = x(i+1), 返回 x(i)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 */ FLOOR, /** 當(dāng) x(i) = x = x(i+1), 返回 x(i+1)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 */ CEILING, /** 線性插值，函數(shù)連續(xù)，插值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù) */ LINEAR, /** 二次樣條插值 , 函數(shù)和其一階導(dǎo)數(shù)都連續(xù) */ QSPLINE, /** 三次樣條插值 , 函數(shù)和其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都連續(xù) */ CSPLINE, /** 二階多項(xiàng)式插值 , 函數(shù)連續(xù)，導(dǎo)數(shù)在插值點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3 個(gè)的時(shí)候也連續(xù) ,否則不連續(xù) */ POLY2, /** 三階多項(xiàng)式插值 , 函數(shù)連續(xù)，導(dǎo)數(shù)在插值點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4 個(gè)的時(shí)候連續(xù) ,否則不連續(xù) */ POLY3, //拉格朗日插值 LAGRANGE }。 關(guān)于外插的選擇，使用如下枚舉量： /*外插使用線性插值 */ enum ExtrapControl { /**不允許外插 */ NEITHER, /** 當(dāng)輸入數(shù)據(jù) x x_min 時(shí)允許外插 */ MINEX, /** 當(dāng)輸入數(shù)據(jù) x x_max 時(shí)允許外插 */ MAXEX, /** 當(dāng)輸入數(shù)據(jù) x x_min 或 x x_max 時(shí)允許外插 */ 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 28 BOTH }。 上面提到的 interp_table 是我設(shè)計(jì)一個(gè)插值數(shù)據(jù)包的結(jié)構(gòu)體，其中包含有插值類需要使用的信息，具體如下： struct interp_table { ....................... //插值維數(shù) size_t dimension。 //自變量 , independent variable const vector vectordouble amp。 idpVar。 //應(yīng)變量 , dependent variable const vectordoubleamp。 dpVar。 //可否外插 , 否則出錯(cuò)提示 ,外插使用的是線性插值 vectorExtrapControlamp。 Extrap。 InterpMethod method。 /*如果 method 為 LAGRANGE 插值，則需對(duì)此項(xiàng)賦值，多項(xiàng)式階數(shù)， 否則不用賦值 */ size_t order。 }。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 29 第 4 章 實(shí)時(shí)環(huán)境測(cè)試 測(cè)試環(huán)境 cpu： AMD Athlon 64 X2 Dual 系統(tǒng)： RTX 操作系統(tǒng) 內(nèi)存： 1GB RTX 全稱 realtime extension，即實(shí)時(shí)操作系統(tǒng)，提供對(duì) windows 操作系統(tǒng)的擴(kuò)展功能。在包括工業(yè)自動(dòng)化，電信，測(cè)量，醫(yī)藥，政府，軍事，模擬等各方面企業(yè)級(jí)應(yīng)用中，使基于 windows 的應(yīng)用程序擁有嵌入式程序所具備的硬實(shí)時(shí)特征。 RTX 具有如下特點(diǎn)， 1. RTX 向開(kāi)發(fā)者提供了獨(dú)立于操作系統(tǒng)和應(yīng)用程序的對(duì)與系統(tǒng)資源的直接訪問(wèn)控制和所有權(quán)，為所需的功能和任務(wù)合理的安排進(jìn)程和線程的執(zhí)行順序。 2. 具有工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和有效的開(kāi)發(fā)調(diào)試工具。微軟的開(kāi)發(fā)工具廉價(jià)，易用， RTX不需要額外的昂貴的和專有的開(kāi)發(fā)工具進(jìn)行程序的開(kāi)發(fā)和調(diào)試。 3. 并且 RTX 提供了附加的向?qū)Ш驼{(diào)試工具，可以無(wú)縫的嵌入到微軟的標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)發(fā)工具中。 4. RTX 提供了最高的可靠性。 RTX 提供的關(guān)機(jī)處理函數(shù)使得應(yīng)用程序可以在 windows 出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)繼續(xù)運(yùn)行，某些函數(shù)可以在沒(méi)有操作系統(tǒng)的情況下依然正常執(zhí)行。這對(duì)于正在執(zhí)行關(guān)鍵指令的應(yīng)用程序尤其重要。 測(cè)試算例 1 此算例使用矩陣類 Matrix 來(lái)進(jìn)行矩陣求逆。首先使用隨機(jī)數(shù)生成器生成一個(gè) 1000 維的一個(gè)方陣。然后使用 Matrix 類的 inv 方法求逆，并統(tǒng)計(jì)運(yùn)行時(shí)間。 大致代碼如下 : double start_time = .....。 Matrixdouble mtx(1000,1000), res。 ()。 res = ()。 double end_time = .....。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 30 double pute_time= end_time start_time。 經(jīng)測(cè)試，程序執(zhí)行時(shí)間大約 20 秒。由于是采用 C++編寫(xiě)，并且是單線程運(yùn)算， 20 秒的測(cè)試結(jié)果已經(jīng)比較滿意了。使用內(nèi)存測(cè)試工具，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何內(nèi)存泄露。 測(cè)試算例 2 此算例對(duì)插值類進(jìn)行測(cè)試，對(duì)拉格朗日和三次樣條測(cè)試分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，插值數(shù)據(jù)為網(wǎng)格數(shù) 據(jù)。具代代碼不再列出，下面給出測(cè)試結(jié)果 ，單位 次 /s。 線性 插值 拉格朗日 三次樣條 1 階 2 階 3 階 4 階 1 維 7874150 5774730 4122784 2769474 1877545 1465980 2 維 3663710 2021627 836020 412075 222817 269202 3 維 1969490 823054 209880 77002 47331 59627 4 維 1097230 357223 59643 24421 14818 18854 表 41 插值算法性能對(duì)比 根據(jù)以上測(cè)試數(shù)據(jù)可知，對(duì)網(wǎng)格數(shù)據(jù)使用線性插值速度非?？?，可以達(dá)到每秒鐘百萬(wàn)次。每增加一維，速度大約降低 40%左右。對(duì)相同的數(shù)據(jù)，多項(xiàng)式插值和樣條插值的速度遠(yuǎn)比線性插值慢。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 31 第 5 章 結(jié)論 通過(guò)上述實(shí)時(shí)環(huán)境的測(cè)試，本文中各部分的算法設(shè)計(jì)合理 , 效率滿足需求 , 能夠應(yīng)用于飛行器實(shí)時(shí)仿真中 , 作為庫(kù)文件使用。 向量和矩陣類提供了很多的方法，可以非常靈活的使用向量和矩陣進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。隨機(jī)數(shù)類提供了非常多的生成器以滿足不同的需求，并且浮點(diǎn)數(shù)生成速度接近每秒鐘百萬(wàn)次。插值類提供了常見(jiàn)的幾種插值算法， 5 維以下時(shí)插值速度較快，接口設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單， xml 格式插值表具有很強(qiáng)的可擴(kuò)展性。插值算法中使用線性插值處理了外插情況。 當(dāng)然，本文也存在很多問(wèn)題，比如在 5 維以上的數(shù)據(jù)中插值時(shí)，除了線性插值外，其他算法的運(yùn)行速度將會(huì)急劇下降。矩陣維數(shù)超過(guò) 1000 時(shí)，矩陣求逆等復(fù)雜運(yùn)算會(huì)很慢。但是這些都是比較特殊的情況，在一般的仿真應(yīng)用中，本文中算法的效率可以滿足需求。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 32 致 謝 在本文完成之際，我要對(duì)所有在論文完成過(guò)程中給予我無(wú)私幫助的人以最誠(chéng)摯的感謝。特別感謝我的導(dǎo)師，感謝許老師在學(xué)習(xí)和研究上對(duì)我 的悉心指導(dǎo)和不斷鼓勵(lì)，這使我得到了許多的鍛煉和提高。也感謝在畢業(yè)設(shè)計(jì)期間幫助過(guò)我的同學(xué)們，你們都很棒。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 33 參考文獻(xiàn) [1] William H. Press. NUMERICAL RECIPES, Third Edition, Cambridge University Press[J]. 2020 [2] Ardence Company, RTX SDK Release Notes, US. 2020. [3] GSL Reference Manual Edition . 2020 [4]飛行器系統(tǒng)仿真 [M] . 2020 [5] Kenh C. Johnson .Multidimensional Interpolation Methods . 2020