20xx年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試題及答案解析-資料下載頁
2025-08-05 00:39本頁面
【正文】 OH=8﹣4=4，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），∴OQ==5，∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]點(diǎn)評：本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問題的過程中，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義等知識，有一定的綜合性． 22．（14分）（2015?日照）如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位速度運(yùn)動到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個單位的速度運(yùn)動到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個運(yùn)動中用時(shí)最少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；矩形的判定與性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．.專題：壓軸題．分析：（Ⅰ）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45176。，BC=，AC=3，從而得到∠ACB=90176。，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90176。．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90176。．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，△PAQ∽△CAB．此時(shí)可證得△PGA∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x．則有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE=EN，則點(diǎn)M在整個運(yùn)動中所用的時(shí)間可表示為+=DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45176。，從而可得∠D′CD=90176。，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最?。藭r(shí)可證到四邊形OCD′N是矩形，從而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：．∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．聯(lián)立，解得：或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90176。，∴∠BCH=45176。，BC=．同理：∠ACO=45176。，AC=3，∴∠ACB=180176。﹣45176。﹣45176。=90176。，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90176。．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90176。，∴∠APQ=∠ACB=90176。．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．∵∠PGA=∠ACB=90176。，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN=AE?sin45176。=AE，即AE=EN，∴點(diǎn)M在整個運(yùn)動中所用的時(shí)間為+=DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45176。，∴∠D′CD=90176。，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最?。藭r(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90176。，∴四邊形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．對于y=x2﹣x+3，當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)評：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)，難度大，準(zhǔn)確分類是解決第（Ⅱ）（1）小題的關(guān)鍵，把點(diǎn)M運(yùn)動的總時(shí)間+轉(zhuǎn)化為DE+EN是解決第（Ⅱ）（2）小題的關(guān)鍵．
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