云南省昆明市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)-資料下載頁
2025-08-05 00:16本頁面
【正文】 徑，點(diǎn)E在⊙O上，過點(diǎn)E的直線EF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）∠F=30176。時(shí)，求的值．考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）連接OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得出OE∥AC，則∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，則∠OEF=∠ACF=90176。，從而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切線；（2）由OE∥AC，則△OFE∽△AFC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，從而得出的值．解答：（1）證明：連接OE，∵AE平分∠FAC，∴∠CAE=∠OAE，又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，∴OE∥AC，∴∠OEF=∠ACF，又∵AC⊥EF，∴∠OEF=∠ACF=90176。，∴OE⊥CF，又∵點(diǎn)E在⊙O上，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵∠OEF=90176。，∠F=30176。，∴OF=2OE又OA=OE，∴AF=3OE，又∵OE∥AC，∴△OFE∽△AFC，∴==，∴=，∴=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．25．（12分）（2011?昆明）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求AC、BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理．專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90176。，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長(zhǎng)；（2）分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先過點(diǎn)Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得△PBQ各邊的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定，即可得以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；（4）由x=5秒，求得AQ與AP的長(zhǎng)，可得PQ是△ABC的中位線，即可得PQ是AC的垂直平分線，可得當(dāng)M與P重合時(shí)△BCM得周長(zhǎng)最小，則可求得最小周長(zhǎng)的值．解答：解：（1）設(shè)AC=4ycm，BC=3ycm，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4y）2+（3y）2=102，解得：y=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，∵AP=xcm，∴BP=（10﹣x）cm，BQ=2xcm，∵△QHB∽△ACB，∴，∴QH=xcm，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=xcm，∴BP=（10﹣x）cm，AQ=（14﹣2x）cm，∵△AQH′∽△ABC，∴，即：=，解得：QH′=（14﹣2x）cm，∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（3）∵AP=xcm，AQ=（14﹣2x）cm，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴=，即：=，解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=cm，∴==≠，∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；（4）存在．理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4cm，AP=x=5cm，∵AC=8cm，AB=10cm，∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥BC，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5cm，∵AP=CP，∴AP+BP=AB，∴AM+BM=AB，∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16cm．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16 / 16
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