5多元回歸分析-ols漸近性-資料下載頁(yè)
2025-08-05 00:07本頁(yè)面
【正文】 2. OLS的漸近有效性 Asymptotic Efficiency of OLS 漸近有效 Asymptotic Efficiency ? 有限樣本下，在 GaussMarkov 假定下 , OLS估計(jì)量是 BLUE (best linear unbiased estimators). 已經(jīng)知道 : ? 在大樣本下，在假定 ， OLS估計(jì)量具一致性。 ? 在大樣本下，在 GaussMarkov假定下， OLS估計(jì)量的漸近正態(tài)性和漸進(jìn)方差。 OLS的漸近方差的相對(duì)大?。? ? 在 GaussMarkov假定下，在某種類型的估計(jì)量中， OLS估計(jì)量是否具有最小的漸近方差？ ? 如果具有最小的漸近方差，則稱 OLS估計(jì)量是 漸近有效 (asymptotically efficient)的估計(jì)量。 簡(jiǎn)單回歸模型情形： OLS估計(jì)量的漸近有效性 ? 對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x1 + u ? z1=g(x1) ? 在 GaussMarkov假定下： E(u|x1)=0, 有： ? (1) E(u)=0, Cov(u, x1)=0。 ∑(yi b0 b1xi1)=0, ∑ x1(yi b0 b1xi1)=0 ? (2) E(u)=0, Cov[u, z1]= Cov[u, g(x1)]= 0 ∑(yi b0 b1xi1)=0, ∑ g(x1)(yi b0 b1xi1)=0 OLS估計(jì)量 ? 由 (1) 得 OLS估計(jì)量： ? ?? ?? ?? ?)()]?(v a r [)?v a r ()?v a r ()(1)?()(),()?l i m (?12111111222111112111112111111xV a rnAAAxV a rnS S TnnS S TV a rxV a ruxC o vpxxuxxxxyxxnxxiiiiii?bbbbb???bbbbb?????????????????????????其他一致估計(jì)量 ? 由 (2) 得估計(jì)量： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?),(),()~l i m (~1111111111111111111xzC o vuzC o vpxxzzuzzxxzzyzziiiiiiii???????????????bbbb? 若 Cov(z1,x1)!=0, Cov(z1,u)=0，則 存在且一致。 ? 又稱為 工具變量估計(jì)量 (an instrumental variables estimator)。 ? 當(dāng) z1=g(x1)=x1時(shí)，與 OLS估計(jì)量相同。 1~b1~b? 漸進(jìn)方差 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?2211111111221112211112112211112111)],([)()]~(v a r [)~v a r ()~v a r ()],([)(1]1[1][)~(?bbbbb???bxzC o vzV a rnAAAxzC o vzV a rnxxzznnzznnxxzzzzV a rniiiiii?????????????????????????1~b? 比較漸近方差： )]~(v a r [)]?(v a r [)]x,[ C o v ( z)V a r ( z)V a r ( x1)) V a r ( xV a r ( z )]x,[ C o v ( z )) s d ( xsd ( z |)x,C o v ( z|:i n e q u a l i t y S c h w a r t zC a u c h y)],([)()]~(v a r [,)(1)]?(v a r [11112111111211111122111112111bbbb?bb?bb??????????nAnAxzC o vzV a rnAxV a rnA，故：知由? 故，對(duì)于簡(jiǎn)單回歸模型而言， OLS估計(jì)量是漸進(jìn)有效的。 一般情形 ? 對(duì)于多元回歸模型， y = b0 + b1x1 + b2x2. . . +bkxk + u ? 取 zj=gj(xj), j=0,1,… ,k, ? 在 GaussMarkov假定下， 由 E(u|xj,j=1,K)=0 有： Cov(u,xj)=0，且 Cov[u,gj(xj)]=0, j=1,… ,K。 ? 求解下面一階條件： ? gj(xj), j=1,… ， K，可以取不同的函數(shù)形式，得到一組一致估計(jì)量 。 ? 特殊地： g0(xi0)=1, gj(xij)=xij, j=1,K，所得為 OLS估計(jì)量 。 )(1,0,0)~~~)((1 110 kjxxyxgni ikkiiij ?? ??????? ? bbbkjj ,1,0,? ??bkjj ,1,0,~ ??b定理 (OLS的漸進(jìn)有效性 ) (Asymptotic Efficiency of OLS) ? 定理 (OLS的漸進(jìn)有效性 ) ? 在 GaussMarkov假定下， 表示求解方程組 ()所得估計(jì)量 , 是表示 OLS估計(jì)量。則， OLS估計(jì)量具有最小的漸進(jìn)方差，即： kjj ,1,0,~ ??bkjj ,1,0,? ??b)]~(v ar [)]?(v ar [ jjjj nAnA bbbb ???漸近有效 Asymptotic Efficiency ? 注意：上述定理需要同方差假定。如果同方差的假定不成立，上述結(jié)論也不能成立。 總結(jié) ? 1. 大樣本推斷 Large Sample Inference ? 2. OLS的漸近有效性 Asymptotic Efficiency of OLS 思考題與作業(yè) ? 思考題： ? 計(jì)算機(jī)練習(xí)：
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