35--群的自同構(gòu)群-資料下載頁
2025-08-04 22:36本頁面
【正文】 ；但反之不成立， 即正規(guī)子群不一定是特征子群。 例如，取，則（是交換群）。取，則前面例1已驗(yàn)證是的一個自同構(gòu)，對此自同構(gòu) ，所以不是特征子群。（2）全特征子群：設(shè)。如果對的所有自同態(tài)都保持不變，即對的每個自同態(tài)都有，則稱為 的一個全特征子群。 例4 證明：循環(huán)群的子群都是全特征子群。 證明 由于循環(huán)群的子群還是循環(huán)群，所以可設(shè)。例是任何自同態(tài)，則存在，使得 。于是，有，所以是的一個全特征子群。 注意：顯然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。 例如，群的中心總是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。 例5 有理數(shù)域上的2階線性群的中心（高等代數(shù)結(jié)論）， 則不是全特征子群。 證明 首先，即為有理數(shù)域上的2階滿秩方陣，則 行列式是一個有理數(shù)。因此可令，其中 是奇數(shù)，是與有關(guān)的一個正整數(shù)，由唯一確定。 設(shè)，其中是奇數(shù)。則， 是奇數(shù)，所以。于是令 。 由于 ， 故是的一個自同態(tài)。關(guān)于此自同態(tài)，取，則，所以，這說明不是全特征子群。
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