35--群的自同構(gòu)群(完整版)
【正文】 ，則有，且時(shí)，即是的自同構(gòu)。注意：定理2說明一件事實(shí)，即不同的循環(huán)群其自同構(gòu)群可以相同。 注意：設(shè)，則有，即，亦即對(duì)的任何內(nèi)自同構(gòu)都保持不變；反之，若的一個(gè)子群有此性質(zhì)，則它必是的正規(guī)子群。又 。 證明 略。取，則前面例1已驗(yàn)證是的一個(gè)自同構(gòu)，對(duì)此自同構(gòu) ，所以不是特征子群。 例如，群的中心總是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。關(guān)于此自同態(tài)，取，則，所以，這說明不是全特征子群。 證明 首先，即為有理數(shù)域上的2階滿秩方陣，則 行列式是一個(gè)有理數(shù)。如果對(duì)的所有自同態(tài)都保持不變，即對(duì)的每個(gè)自同態(tài)都有，則稱為 的一個(gè)全特征子群。正規(guī)子群的推廣 前面有，正規(guī)子群就是對(duì)的所有內(nèi)自同構(gòu)都保持不變的子群，將這一概念推廣就得到：（1）特征子群：對(duì)群的所有自同構(gòu)都保持不變的子群叫做的一個(gè)特征子群，即都有。但是要求出一個(gè)群的自同構(gòu)群，一般來說是非常困難的。因此，也常稱正規(guī)子群為不變子群。證明 （1）易知是的一個(gè)雙射變換。 例2 （1）求，4階循環(huán)群的自同構(gòu)群。每個(gè)全排列不一定都是自同構(gòu)，但根據(jù)的運(yùn)算
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