20xx-20xx學(xué)年四川省遂寧市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)-資料下載頁
2025-08-04 18:20本頁面
【正文】 兩個(gè)向量的數(shù)量積為X．若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)．（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）先求出從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)點(diǎn)為向量的終點(diǎn)的不同取法，而X=0時(shí)，即兩向量夾角為直角，求出結(jié)果數(shù)，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出兩向量數(shù)量積的所有可能情形及相應(yīng)的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)點(diǎn)為向量的終點(diǎn)的不同取法有=28種X=0時(shí)，兩向量夾角為直角共有8種情形所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率P（X=0）==（2）兩向量數(shù)量積的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2時(shí)有2種情形X=1時(shí)有8種情形X=﹣1時(shí)，有10種情形X的分布列為：X ﹣2 ﹣1 0 1P EX==【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概率的求解公式的應(yīng)用及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解． 20．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1；雙曲線C2：﹣=1的左、右焦點(diǎn)分別為F3，F(xiàn)4，離心率為e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求CC2的方程；（Ⅱ）過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值．【分析】（Ⅰ）由斜率公式寫出e1，e2，把雙曲線的焦點(diǎn)用含有a，b的代數(shù)式表示，結(jié)合已知條件列關(guān)于a，b的方程組求解a，b的值，則圓錐曲線方程可求；（Ⅱ）設(shè)出AB所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，并由橢圓的焦點(diǎn)弦公式求出AB的長度，寫出PQ的方程，和雙曲線聯(lián)立后解出P，Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式分別求出P，Q到AB的距離，然后代入代入三角形面積公式得四邊形APBQ的面積，再由關(guān)于n的函數(shù)的單調(diào)性求得最值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，且．∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．∴，且．解得：．∴橢圓C1的方程為，雙曲線C2的方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．∵直線AB不垂直于y軸，∴設(shè)AB的方程為x=ny﹣1，聯(lián)立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則，．則==．∵M(jìn)在直線AB上，∴．直線PQ的方程為，聯(lián)立，得．解得，代入得．由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．∴P，Q的坐標(biāo)分別為，則P，Q到AB的距離分別為：，．∵P，Q在直線A，B的兩端，∴．則四邊形APBQ的面積S=|AB|．∴當(dāng)n2=0，即n=0時(shí)，四邊形APBQ面積取得最小值2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線方程的求法，是直線與圓錐曲線、圓錐曲線與圓錐曲線間的關(guān)系的綜合題，考查了橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是學(xué)生要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是壓軸題． 21．設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立．【分析】（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）需要分類討論，由（Ⅰ）可知分類標(biāo)準(zhǔn)為b≥，0＜b＜，b≤0或f39。（x）＜0．參數(shù)取某些特定值時(shí)，可只管作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決，另外要注意由f39。（x）=0求得的根不一定就是極值點(diǎn)，需要判斷在該點(diǎn)兩側(cè)的異號(hào)性后才能稱為“極值點(diǎn)”．（Ⅲ）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令，即可證得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1）的定義域在（﹣1，+∞）令g（x）=2x2+2x+b，則g（x）在上遞增，在上遞減，g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f39。（x）＞0即當(dāng)，函數(shù)f（x）在定義域（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，∴，∴時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上無極值點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，解f39。（x）=0得兩個(gè)不同解當(dāng)b＜0時(shí)，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此時(shí)f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，x1，x2∈（﹣1，+∞）f39。（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f39。（x）在（x1，x2）上小于0，此時(shí)f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)綜上可知，b＜0，時(shí)，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上無極值點(diǎn)．（Ⅲ）當(dāng)b=﹣1時(shí)，f（x）=x2﹣ln（x+1）．令上恒正∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，對(duì)任意正整數(shù)n，取【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的證明方法，屬于中檔題．
職業(yè)教育相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1