chap1-概率論的基本概念-資料下載頁
2025-08-04 10:11本頁面
【正文】 A、 B互斥，且 P(A)0, P(B)0, 則 A與 B不獨(dú)立 . 反之，若 A與 B獨(dú)立，且 P(A)0,P(B)0, 則 A 、 B不互斥 . 而 P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、 B不獨(dú)立 我們來計(jì)算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 A BS 問：能否在樣本空間 S中找兩個(gè)事件 ,它們既相互獨(dú)立又互斥 ? 這兩個(gè)事件就是 S和 ?P( S) =P( )P(S)=0 ?? 與 S獨(dú)立且互斥 ??? ?s不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨(dú)立 . ?設(shè) A、 B為互斥事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系 . 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 設(shè) A、 B為獨(dú)立事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí) . B=P(A)[1P(B)]= P(A) P( ) = P(A)P(AB) BP(A )= P(AA B) A、 B獨(dú)立 故 A與 獨(dú)立 . B 概率的性質(zhì) = P(A)P(A) P(B) 證明 : 僅證 A與 獨(dú)立 B容易證明 ,若兩事件 A、 B獨(dú)立，則 BABABA 與與與 , 也相互獨(dú)立 . 二、多個(gè)事件的獨(dú)立性 將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件： 對(duì)于三個(gè)事件 A、 B、 C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個(gè)等式同時(shí) P(AC)= P(A)P(C) 成立 ,則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、 B、 C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨(dú)立 . 推廣到 n個(gè)事件的獨(dú)立性定義 ,可類似寫出： 包含等式總數(shù)為： 1201)11(32??????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnn?對(duì) n個(gè)事件 A1,A2 ....An，若對(duì)任意 k=2,3,…n和任意一組 都有 , 則稱事件 A1,A2 ....An是相互獨(dú)立的 . nii1 k1 ???? ?)A(P)A(P)A(P)AAA(P k21k21 iiiiii ?? ?請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立 的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨(dú)立 相互獨(dú)立 對(duì) n(n2)個(gè)事件 ? 對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡化： 例 2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 1/5， 1/3， 1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號(hào)為 1， 2， 3， 三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用 所求為 P(A1 A2 A3) 記 Ai={第 i個(gè)人破譯出密碼 } i=1,2,3 ? ?記 Ai={第 i個(gè)人破譯出密碼 } i=1,2,3 所求為 P(A1+A2+A3) 已知 , P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) )(121 nAAAP ????)(1 321 AAAP??)()()(1 321 APAPAP?? =1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] ??????n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式 : nAAA , 21 ?設(shè) 事件 相互獨(dú)立 ,則 ）? nAAP ???? 1(1)(1 21 nAAAP ??? )()()( nAPAPAP ?211 ?? 也相互獨(dú)立 nAAA , 21 ? 也就是說， n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生 的概率等于 1減去各自對(duì)立事件概率的乘積 . )( 1 nAAP ?? ?nAAA , 21 ?則 “ 至少有一個(gè)發(fā)生” 的概率為 )()()(1 21 nAPAPAP ???,1 npp ?nAAA , 21 ?若設(shè) n個(gè)獨(dú)立事件 發(fā)生的概率 分別為 類似可以得出： nAAA , 21 ?至少有一個(gè)不發(fā)生” 的概率為 “ )( 21 nAAAP ??? ?=1 p1 … p n )1()1(1)( 11 nn ppAAP ?????? ?? 下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖 . A、 B、C、 D、 E、 F、 G、 H都是電路中的元件 . 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率 . 求電路正常工作的概率 . A BCEDFGH P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 解：將電路正常工作記為 W，由于各元件獨(dú)立工作，有 其中 )()()( ?EPDPCPP(C+D+E)=1 9 3 7 )()( ?GPFPP(F+G)=1 ?P(W) 代入得 A BCEDFGH 例 2 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊 ,三人擊中的概率分別為 、 、 .飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為 ,被兩人擊中而擊落的概率為 ,若三人都擊中 ,飛機(jī)必定被擊落 , 求飛機(jī)被擊落的概率 . 設(shè) A={飛機(jī)被擊落 } Bi={飛機(jī)被 i人擊中 }, i=1,2,3 由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) 則 A=B1A+B2A+B3A 求解如下 : 依題意， P(A|B1)=, P(A|B2)=, P(A|B3)=1 于是 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) = = + + 1 即飛機(jī)被擊落的概率為 . P(B1)=。P(B2)=。P(B3)= 要驗(yàn)收一批（ 100件）樂器，驗(yàn)收方案如下：自該批樂器中隨機(jī)地取 3件測(cè)試（設(shè) 3件樂器的測(cè)試是相互獨(dú)立的），如果 3件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純，則這批樂器就被拒絕接收。設(shè)一批音色不純的樂器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率為 ，而一件音色純的樂器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為 。如果已知這 100件樂器中恰有 4件是音色不純的。試問這批樂器被接收的概率是多少？ 一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經(jīng)驗(yàn)；當(dāng)敵人向我們的陣地打炮時(shí)，你最好滾到新彈坑里藏身 . 因?yàn)槎虝r(shí)間內(nèi)不大可能有兩發(fā)炮彈落到同一個(gè)地點(diǎn)！” 他說得對(duì)嗎？ 這種想法的產(chǎn)生，是因?yàn)樗麄儧]有認(rèn)識(shí)到獨(dú)立事件的“獨(dú)立”性 . 一發(fā)炮彈落在什么地方，和另一發(fā)炮彈之間沒有關(guān)系，它們是相互獨(dú)立的 . 類似地，昨天從香港飛往紐約的飛機(jī)是否失事，與今天從北京飛往上海的飛機(jī)是否安全．它們是相互獨(dú)立的事件 . 頭胎生女生男與二胎生男生女，前幾次擲硬幣的結(jié)果與下一次出正面還是反面，都是彼此獨(dú)立的 .
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