【正文】 { } { } { } { } { } }T T T T T Td d d d d d?{ } { }r r rd u v?1 2 3 4 5{ } { { } { } { } { } { } }T T T T T TP P P P P P?{ } { }r r x r yP P P? 36 這樣對每個單元寫出相應(yīng)的平衡方程，例如，對①號單元 稱為單元貢獻剛度方程 平面問題的有限元法 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 2 1 3 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 1 2 2 2 3 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )3 3 1 3 2 3 3 31{ } [ ] [ ] [ ] { }{ } [ ] [ ] [ ] { }{ } [ ] [ ] [ ] { }F K K K dF K K K dF K K K d??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???( 1 ) ( 1 ) ( 1 )111 1 1 2 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )222 1 2 2 2 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )333 1 3 2 3 31{ } { }[ ] [ ] [ ] [ 0] [ 0]{ } { }[ ] [ ] [ ] [ 0] [ 0]{ } { }[ ] [ ] [ ] [ 0] [ 0]{ 0 } { 0 }[ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0]{ 0 } { 0 }[ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0]FdKKKKKKFdKKK??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ????????????? ?11{ } [ ] { }F K d? 37 節(jié)點平衡方程 以節(jié)點 3為例 同理由其它四個節(jié)點，則整體節(jié)點荷載與節(jié)點位移之間的關(guān)系式為 式中 [K]為整體剛度矩陣 平面問題的有限元法 1 3 2 3 3 3 4 3 31 3 2 3 3 3 4 3 3xyX X X X PY Y Y Y P? ? ? ???? ? ? ?? 3 1 3 2 3 3 3 4 3{ } { } { } { } { }F F F F P? ? ? ? ?[ ]{ } { }K d P?41[ ] [ ]eeKK?? ? 38 ?能量極值 單元在節(jié)點力作用下的勢能為 將各單元能量疊加，可得整體能量 平面問題的有限元法 1 ( ) ( )2e x x y y x y x y e e i i e i i e j j e j j e k k e k kd V X u Y v X u Y v X u Y v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????1 { } [ ] [ ] [ ] { } { } { }2 T T Te e e e e ed B D B d d V d F? ? ? ????1 { } { } { } { }2 TTe e e ed V d F??? ? ? ????44111[ { } ( [ ] [ ] [ ] ) { } { } { } ]2T T Te e e e e eeed B D B d V d d F??? ? ? ? ??? ???411( { } [ ] { } { } { } )2TTeeed K d d F???? 39 令 則 ?整體剛度矩陣的特性 ? 對稱性 ? 正定性 ? 稀疏性 平面問題的有限元法 4411[ ] [ ] , [ ] [ ]eeeeK K F F??????{ } ( [ ] { } { } ) 0 [ ] { } { } 0d K d F K d F??? ? ? ? ? ? ? ?1 { } [ ] { } { } { }2 TTd K d d F? ? ? ? 40 ?整體節(jié)點載荷列陣 集中力 ：把集中力的作用點取為節(jié)點，不需作任何特殊處理，就可直接把集中力加入到節(jié)點荷載中去。 體積力 ： 設(shè)單元體內(nèi)單位體積上作用的體積力為 將移置到節(jié)點上后的單元節(jié)點荷載記為 根據(jù)靜力等效原則，給單元一個虛位移 表面力 ：與體積力類似 平面問題的有限元法 { } { } TxyG G G?(){}eG{}uv??{}{ } { } { }ex eTeeyVGu v d V G dG? ? ??? ????????{ } [ ] { } { } { } [ ] { } { } [ ]T T T T T Te e ed N d d d N d d N??? ? ? ? ? ?{}{ } [ ] { } { } { }eT T T ee e eVd N G d V d G??????? {}{ } [ ] { }eeT eVN G d V?? ???{}{ } [ ] { }eeT eSp N p d S? ?? 41 整體荷載列陣 平面問題的有限元法 ( ) ( ){ } ( { } { } { } )eer r r rP G p Q? ? ??12{ } { { } { } { } }T T T TmP P P P?? 42 ?邊界條件處理 無約束的彈性體 (或結(jié)構(gòu)物 )的整體剛度矩陣 [K]是奇異的，即 det[K]＝ 0，方程的解不唯一。只有將幾何約束條件引入剛度方程才可求得唯一解。引入約束條件的方法有二種： ? 若已知 ，可將 [K]中主對角線上的元素換成 1，以及它所作的第 i行和第 i列上的其余元素換成 0，在荷載列陣種對應(yīng)于的量換成 c，其余不動。 ? 把在 [K]中與對應(yīng)的主對角元素乘以一較大的數(shù)，例如1010；把在節(jié)點荷載列陣中與對應(yīng)的量改成 ，其余不動。 平面問題的有限元法 iuc?1010 iick??1 11 12 13 1 12 21 22 23 2 23 31 32 33 3 31 2 3nnnn n n n nn nF k k k k dF k k k k dF k k k k dF k k k k d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 43 ?應(yīng)力計算 ? 環(huán)節(jié)點平均法 ? 兩單元平均法 平面問題的有限元法 44 小結(jié)