20xx年計(jì)算力學(xué)第5課(存儲版)
【正文】 面積坐標(biāo) ← 直角坐標(biāo) 平面問題的有限元法 1 ()2i i i i ieL a b x c y N? ? ? ? ?D11 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ] ( )2 2 21i j j j k k j j k j k i i ikkxyx y x y x y y y x x x y a b x c yxyD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11( ) , ( )22j j j j k k k keeL a b x c y L a b x c y? ? ? ? ? ?DD112i i i ij j j jek k k kL a b cL a b c xL a b c y? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?D? ? ? ???? ? ? ? ? ? 17 另外 由 得到 直角坐標(biāo) ← 面積坐標(biāo) 平面問題的有限元法 11,j j j ji i ik k k kx y y xa b cx y y x? ? ? ?112i i i ie j j j jk k k ka b c Lx a b c Ly a b c L?? ? ? ? ? ?? ? ? ????D? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?1 1 1 1 ii j k ji j k kLx x x x Ly y y y L??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 18 由面積坐標(biāo)，可知 ? 形函數(shù) Ni在節(jié)點(diǎn) i的值為 1，在其余兩節(jié)點(diǎn)的值為 0。 以兩個曲四邊等參元為例 平面問題的有限元法 I II s2 s1 s3 s4 s1 s2 s3 s4 6 5 7 8 1 2 3 4 28 由于平面問題只需檢查位移本身的連續(xù)性。引入約束條件的方法有二種： ? 若已知 ，可將 [K]中主對角線上的元素?fù)Q成 1，以及它所作的第 i行和第 i列上的其余元素?fù)Q成 0，在荷載列陣種對應(yīng)于的量換成 c，其余不動。 體積力 ： 設(shè)單元體內(nèi)單位體積上作用的體積力為 將移置到節(jié)點(diǎn)上后的單元節(jié)點(diǎn)荷載記為 根據(jù)靜力等效原則，給單元一個虛位移 表面力 ：與體積力類似 平面問題的有限元法 { } { } TxyG G G?(){}eG{}uv??{}{ } { } { }ex eTeeyVGu v d V G dG? ? ??? ????????{ } [ ] { } { } { } [ ] { } { } [ ]T T T T T Te e ed N d d d N d d N??? ? ? ? ? ?{}{ } [ ] { } { } { }eT T T ee e eVd N G d V d G??????? {}{ } [ ] { }eeT eVN G d V?? ???{}{ } [ ] { }eeT eSp N p d S? ?? 41 整體荷載列陣 平面問題的有限元法 ( ) ( ){ } ( { } { } { } )eer r r rP G p Q? ? ??12{ } { { } { } { } }T T T TmP P P P?? 42 ?邊界條件處理 無約束的彈性體 (或結(jié)構(gòu)物 )的整體剛度矩陣 [K]是奇異的，即 det[K]＝ 0，方程的解不唯一。 平面問題的有限元法 i i j j k k m mi i j j k k m mu N u N u N u N uv N v N v N v N v? ? ? ???? ? ? ??i i j j k k m mi i j j k k m mx N x N x N x N xy N y N y N y N y? ? ? ???? ? ? ?? 24 ?曲四邊等參元 由于標(biāo)準(zhǔn)元為 16個自由度，因此，位移函數(shù)多項(xiàng)式為 平面問題的有限元法 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 82 2 2 29 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6uv? ? x ? h ? x ? x h ? h ? x h ? x h? ? x ? h ? x ? x h ? h ? x h ? x h?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 25 上式中的常數(shù)用 8節(jié)點(diǎn)位移表示出來，則得到計(jì)算元的位移函數(shù)為 式中 由形函數(shù)，可得到標(biāo)準(zhǔn)元與計(jì)算元之間的變換為 平面問題的有限元法 8811,r r r rrru N u v N v??????1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 )4i r r r rNix x h h x x h h? ? ? ? ? ? 21 (1 ) (1 ) ( 5 , 7 )2irNix h h? ? ? ? 21 (1 ) (1 ) ( 4 , 8 )2irNih x x? ? ? ? 8811,r r r rrrx N x y N y?????? 26 ?曲三邊等參元 三角形單元的形函數(shù) 線性單元 (3節(jié)點(diǎn) ) 二次單元 (6節(jié)點(diǎn) ) 平面問題的有限元法 1 1 2 2 3 3,N L N L N L? ? ?4 1 2 5 2 3 6 1 3( 2 1 ) ( 1 , 2 , 3 )4 , 4 , 4r r rN L L rN L L N L L N L L??? ??? ? ?? 27 ?等參元的優(yōu)缺點(diǎn) 協(xié)調(diào)性 ：公共邊界上任意點(diǎn)兩相鄰單元的位移協(xié)調(diào)。 平面問題的有限元法 22{ } [ ] { } [ ] { }x u eey vduHdxA d B dyHdvydx??????? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ???????{ } [ ] { } [ ] [ ] { } eD D B d??? ? ?[ ] [ ] [ ] [ ]TeeK B D B d V? ??? 8 ?矩形單元
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