第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示therepresentationofpower-資料下載頁(yè)
2025-08-01 13:34本頁(yè)面
【正文】 )( 2 展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)將 zezfz?解 ,)( nnn zczf ??????由定理知 : ?? ? d)( )(π2 1 10? ??? C nn zfic ???dπ2 1 3? ??C nei其中 )2,1,0(,)0(: ???????? nzC ??, 3 時(shí)當(dāng) ??n0?nc, 2 在圓環(huán)域內(nèi)解析zez故由柯西 –古薩基本定理知 : , 2 時(shí)當(dāng) ??n 由高階導(dǎo)數(shù)公式知 : 022)(dd)!2( 1???????????? zznnezn)!2(1?? n???? ??2 )!2()( nnnzzf故 ???????!4!3!2111 22zzzz??? z0???dπ2 1 3? ??C nneic另解 ???????? ?????? ?!4!3!211 43222zzzzzze z??????? !4!3!211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn) , . 2 的奇點(diǎn)也是函數(shù) zez 分別 在圓環(huán)域 （ 1） 0 |z| 1。 （ 2） 1| z| 2。 （ 3） 2 |z| +? 內(nèi) 展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù) . x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 ? ? ? ?? ?21 12 ??? zzzf將函數(shù)例zzzf ???? 2111)(解：2112111)(zzzf????故12110)1( ????? zzz ???????????????????01010 21121nnnnnnnn zzz )( ?????????????????????????????011010 212112112111112111)(nnnnnnnnnnzzzzzzzzzzzf122 ??? zz?又 11121)2( ?????zzz ?1222)3( ????????zzz ?zzzzzzzf211111112111)(????????????????????????????????????1100122111nnnnnnn zzzzz?????????????????020120)!12()1()!12()1(1s i nnnnnnnznznzzzz解：.0s i n3 展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)＋在求例 ??? zz zy x o 1 2 )1(11112111)(?????????? zzzzzf??????????????? ???20)2()1(111)1(11zzzzznn解 :(1)在 (最大的 )去心鄰域 110 ??? z)(,))(()(討論域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的去心鄰在以點(diǎn)將例212114?????zzzzzf (2) 在 (最大的 )去心鄰域 內(nèi)120 ??? z)2(11212111)(?????????zzzzzf?????????????? ???20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn注意 : 一個(gè)函數(shù) f ( z ) 可以在奇點(diǎn)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)，也可在非奇點(diǎn)展開(kāi)。 函數(shù)可以在以 z0為中心的 (由奇點(diǎn)隔開(kāi)的 )不同圓環(huán)域內(nèi)解析 , 因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi)式 (包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例 ). 我們不要把這種情形與洛朗展開(kāi)式的唯一性相混淆 . 所謂洛朗展開(kāi)式的唯一性 , 是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式是唯一的 . 特別的，當(dāng)洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfiz? ?? ?? ? ? ???1n ?? 時(shí) ， 有 ??? C dzzfiC )(211 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?（即可利用 Laurent系數(shù)計(jì)算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線 ,f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析。 例 5 ????? ???rzzzz dzzze00 301)(求積分內(nèi)解析，在 ??????? ?? 03010)()( 0 zzzzezf zz??? 0L a u r e n t 1C系數(shù)其12 0 .iC? ?? ? ?解： 例 6 21l n 1 .zdzz???? ? ??????求 積 分? ????????????? ? ??????zznznnn1)1(11ln1111 ?? ?C?? ? ?解： 課后作業(yè) 一、 思考題： 3 二、 習(xí)題 四 ： 610 101100
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