第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示therepresentationofpower-文庫吧資料
2024-08-14 13:34本頁面
【正文】 e??nnn ccl 1???? lim nnn )2()2(lim 1???? .2?例 3 把函數(shù) bz?1 表成形如 ????0)(nnn azc 的冪 級(jí)數(shù) , 其中 ba與 是不相等的復(fù)常數(shù) . 解： 把函數(shù) bz?1 寫成如下的形式 : ?? bz 1 )()( 1 abaz ???abazab??????? 111代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn) )( az ?湊出 )(1 1 zg?時(shí)，當(dāng) 1??? ab az,)()()(111 2 ?? ???????????????nabazabazabazabaz?? bz 1故 232 )()( 1)()( 11 azabazabab ?????????? ????? ? nn azab )()( 1 1,Rab ??設(shè) ,時(shí)那末當(dāng) Raz ??級(jí)數(shù)收斂 , 且其和為 .1 bz ? 收斂半徑另一求法 O x y a b 當(dāng) |z?a||b?a|=R時(shí) 級(jí)數(shù)收斂 (1) 冪級(jí)數(shù) ?????0)()(nnn azczf的和函數(shù) f(z)在其收斂圓 K:|za|R(0R≤+∞) 內(nèi)解析 . 說明：同實(shí)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)一樣，我們有 可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階 . 可以逐項(xiàng)求積分 . (2)在收斂圓 K內(nèi) ,冪級(jí)數(shù) ?????0)()(nnn azczf (3)在收斂圓 K內(nèi) ,冪級(jí)數(shù) ?????0)()(nnn azczf例 4 求級(jí)數(shù) ????0)1(nnzn 的收斂半徑與和函數(shù) . 利用逐項(xiàng)積分 ,得 : 解 12l i ml i m 1 ???????? nnccnnnn因?yàn)?.1?R所以,1?? ?? ? ???????0 00 0d)1(d)1(nz nznn zznzzn ?????01nnz .1 zz??所以 )1()1(0??????? zzznnn .)1(12z?? 1?z 課后作業(yè) 一、 思考題： 2 二、 習(xí)題 四 ： 15 101100?P 第二講 167。 +∞ (l=0). () 例 1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 : (1) ???13nnnz(并討論在收斂圓周上的情形 ) (2) ????1)1(nnnz (并討論 20 ,?z 時(shí)的情形 ) 解 (1) nnn cc 1lim ???3)1(li m ?? ?? nnn因?yàn)? ,1?所以收斂半徑 ,1?R即原級(jí)數(shù)在圓 1?z 內(nèi)收斂 , 在圓外發(fā)散 , 在圓周 1?z 上 , 級(jí)數(shù) 收斂。nnncl D Ale m b e rtc???? 達(dá) 朗 貝 爾 ）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法 則冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 : ????0)(nnn azcR= 1/l (l≠0,l≠+∞)。圓 |za|R和圓周 |za|=R分別稱為它的收斂圓和收斂圓周 .在第一情形約定 R=+∞。 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 二、冪級(jí)數(shù) (Series of function of plex variable) 設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+ fn(z)+… () 的各項(xiàng)均在區(qū)域 D內(nèi)有定義 ,且在 D內(nèi) 存在一個(gè)函 數(shù) f(z),對(duì)于 D內(nèi) 的每一點(diǎn) z, 級(jí)數(shù)（ ）均收斂于 f(z), 則稱 f(z)為級(jí)數(shù) ()的和函數(shù) , 記為 : 一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ? ? ?????1nn zfzf的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù) ,其中 a,c0,c1, c2 ,…, 都是復(fù)常數(shù) . 二、 冪級(jí)數(shù) 形如： 以上冪級(jí)數(shù)還可以寫成如下形式 ?? ?????????nnnnn zczczcczc22100 定理 (阿貝爾 )如果冪級(jí)數(shù) () 在某點(diǎn) z1(≠a)收斂 ,則它必在圓 K:|za||z1a|(即以 a為圓心圓周通過 z1的圓 ) 內(nèi)絕對(duì)收斂 . a 1z? 收斂 ,它的各項(xiàng)必然有界 ,即有正數(shù) M,使 (n=0,1,2,…), 111| ( ) | | ( ) ( ) | | |n n n nnn z a z ac z a c z a Mz a z a??? ? ? ?因?yàn)?|za||z1a|, 故級(jí)數(shù) 收斂 證明 設(shè) z是所述圓內(nèi)任意點(diǎn) .因?yàn)? ? ?10nnnc z a????0() nnnc z a????? 在圓 K內(nèi)絕對(duì)收斂 . 推論 若冪級(jí)數(shù) ()在某點(diǎn) z2(≠a)發(fā)散 ,則滿 足|za||z2a|的點(diǎn) z都是冪級(jí)數(shù) ()發(fā)散點(diǎn) . a z1 z2 當(dāng) z≠a有以下三種情況 : (1)對(duì)所有的復(fù)數(shù) z 冪級(jí)數(shù) （ ） 均收斂 . 冪級(jí)數(shù) , 首先它在 z=a點(diǎn)處總是收斂的 ， 例如 , 級(jí)數(shù) ?? ????? nnnzzz 2221對(duì)任意固定的 z, 從某個(gè) n開始 , 總有 ,21?nz于是有 ,21nnnnz ??????? 故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的 z均收斂 . (2) 對(duì)于任意 z≠a冪級(jí)數(shù)（ ）都發(fā)散 . 例如 ,級(jí)數(shù) ?? ????? nn znzz 2
物理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1