第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示therepresentationofpower-在線瀏覽
2024-09-11 13:34本頁面
【正文】 在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點 , 也有級數(shù)的發(fā)散點 . 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的 . 所以 .2221 ??R例 2 ????0)1(nnn zi求 的收斂半徑 . 解 )4s i n4( c o s21 ?? ii ???因為 ,24 ie??nn ic )1( ?? 。 泰勒（ Taylor）級數(shù) 167。 泰勒（ Taylor）級數(shù) (Taylor’s series) 一、解析函數(shù)泰勒定理 冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個 解析函數(shù) .反過來，解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù) ? ?,n)(zfn!c)z(zcf ( z )RzzDzD , Rzf ( z )( n )nnnn2101000000??????????:( 4 . 4 ),其中時則當離,的邊界上各點的最短距到為在區(qū)域D 內(nèi)解析設(shè)定理 .αzRαf ( z )zRzf ( z )f ( z )0??00T a l o r即的距離,之間的最近的一個奇點到于從等展開式的收斂半徑的解析點在那么有奇點,說明：( 1 ) 若此式稱為 在 的泰勒展開式 , 它右 端的級數(shù)稱為 在 處的泰勒級數(shù) . 0z? ?zf? ?zf0z,大,收斂半徑還可以擴不然的話,不可能在收斂圓外,奇點不可能在收斂圓內(nèi). 又所以奇點內(nèi)解析,在收斂圓這是因為上,在收斂圓奇點(2)αααf ( z )α 周.的泰勒展式唯一點）（ 03 zf ( z ) 在??????????????????zRenzzzzeneeznzzzznz收斂圓是所以該級數(shù)的收斂半徑在復(fù)平面上解析而解：.!!!),()()(???32121013200二、一些初等函數(shù)的泰勒展式 展開式.0 的T a l o r在求例1 ?? z, s i n z , c o s zef ( z ) z?????? ????? ?? ???????00 !)(!)(212s i n nnnnzizinzinziiieez????????????? ????znzzznzzznnnnn??)!()(!!)!()()39。 (即使冪級數(shù)在其收斂圓周上處處收斂 ) 而如果把函數(shù)中的 x換成 z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù) 211 z ??1?z2+z4?… 它有兩個奇點 ?i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上 , 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于 1. 因此 , 即使我們只關(guān)心 z的實數(shù)值 , 但復(fù)平面上的奇點形成了限制 . 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題 , 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情 , 例如在實數(shù)范圍內(nèi) , 展開式 2 4 221 1 ( 1 )1nnx x xx ? ? ? ? ? ? ??的成立必須受 |x|1的限制 , 這一點往往使人難以理解 , 因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的 . 167。 當 時 , 原 級數(shù) 處 處 發(fā) 散z0 R1 R2 問：在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù) ? 21( ) 0 1 ,( 1 )0 | | 1 0 | 1 | 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .( 1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .nf z z zzzz z zf z z z zz z z z zf z z? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????函 數(shù) 在 及 都 不 解 析 但 在 圓 環(huán) 域及 內(nèi) 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形 :由 此 可 見 在 內(nèi) 是 可 以 展 開 為 z 的 冪 級 數(shù)其次 ,在圓環(huán)域 :0|z1|1內(nèi)也可以展開為 z1的冪級數(shù) : 21 2 11 1 1()( 1 ) 1 1 ( 1 )1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnfzz z z zz z zzz z z z?????? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 O x y 定理 設(shè) f (z)在圓環(huán)域 R1 |z?z0| R2內(nèi) 解析 , 則 010( ) ( )1 ( )d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ( )nnnn nCf z c z zfiz????? ? ????? ? ? ????其中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞 z0的任 何一條正向簡單閉曲線 . 二、解析函數(shù)的洛朗展式 C z0 R1 R2 010( ) ( )1 ( )d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()nnnn nCf z c z zfiz????? ? ????? ? ? ????其 中 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正 ,負冪項的級數(shù)是唯一的 , 這個級數(shù)就是 的洛朗級數(shù) . ? ?zf稱為函數(shù) 在以 為中心的圓環(huán)域 : 內(nèi)的 洛朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 在此圓環(huán)域內(nèi)的 洛朗級數(shù) . ? ?zf??zf0z
物理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1