【正文】 但在某些情況下，通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，可將其化為一元線性回歸來處理。下面是三種常見的可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸的模型。 22( 1 ) , l n ~ ( 0 , ) , , ,xY e N?? ? ? ? ? ? ?? 其 中 為 未 知 參 數(shù) 。2, l n l n l n ,l n , l n , , l n , ~ ( 0 , )xY e Y xY Y a bY a b x N?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?將 兩 邊 取 對 數(shù)令即 可 轉(zhuǎn) 化 為 一 元 線 性 回 歸 模 型 ：。63 結(jié)果為 ： 22( 2) , l n ~ ( 0 , ) , , ,Y x N?? ? ? ? ? ? ?? 其 中 為 未 知 參 數(shù) 。2, l n l n l n l n ,l n , l n , , l n , l n , ~ ( 0 , )Y x Y xY Y a b x xY a bx N?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?將 兩 邊 取 對 數(shù)令即 可 轉(zhuǎn) 化 為 一 元 線 性 回 歸 模 型 ：。22( 3 ) ( ) , ~ ( 0 , ) , , ,Y h x N? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 其 中 為 未 知 參 數(shù) 。2(), , ( ) , ~ ( 0 , )h x xa b h x xY a b x N??? ? ??? ? ??? ? ?這 里 是 的 已 知 函 數(shù) ，令即 可 轉(zhuǎn) 化 為 一 元 線 性 回 歸 模 型 ：。64 167。 4 多元線性回歸 在實際問題中，影響 Y（因變量）的因素（自變量）往往不止一個，設(shè)有 12, , , px x x p共 個 .pY建 立 這 個 因 素 與 的 依 賴 關(guān) 系 將 具 有 更 廣 泛 的應(yīng) 用 價 值 .12121 2 1 212, , ,( ) , , , , , , , , , ,pppppx x x YE Y x x xx x x x x xx x x??設(shè) 對 于 自 變 量 的 一 組 確 定 值 ， 隨 機(jī) 變 量有 它 的 分 布 。 若 存 在 ， 則 它 是 的 函 數(shù) ，記 為 （ ） 。 這 里 討 論 的 是 （ ）是 的 線 性 函 數(shù) 的 情 況 。65 ? ?? ?12, , , , , 1 , 2 , , .i i i p in n px x x y i n??設(shè) 進(jìn) 行 次 獨 立 觀 測得 到 樣 本? ?0 1 1 2 221201. . . , , , ~ 0 , , 1 , 2 , . . . , .,i i i p ip inpy b b x b x b xN i nb b b?? ? ? ?? ? ? ? ? ??即 有獨 立 同要 求 的 最 小 二 乘 估 計 。? ?20 1 1 2 220 1 2, ~ 0 , , , , ,pppY b b x b x b x Nb b b b? ? ??? ? ? ? ? ?即 ， 多 元 線 性 回 歸 模 型 ：其 中 都 是 未 知 參 數(shù) 。66 ? ? 20 1 11ni i p i piQ y b b x b x?? ? ? ? ??令0 1 2? ? ? ?, , , . . . , , .pb b b b Q要 求 使 得 達(dá) 到 最 小? ?? ?0 1 1100 1 1120201 , 2 , ..., .ni i p ipini i p ip ijijQy b b x b xbQy b b x b x xjp???? ?? ? ? ? ? ? ?????? ?? ? ? ? ? ? ?????? ???0 1 2, , , . . . , ,pQ b b b b求 分 別 關(guān) 于 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 并 令 它 們 等 于 零 。67 0 1 11 1 120 1 1 1 1 11 1 1 120 1 11 1 1 1.......... . . .n n ni p ip ii i in n n ni i p i ip i ii i i in n n nip ip i p ip ip ii i i in b b x b x yb x b x b x x x yb x b x x b x x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?化 簡 得 ：稱 為 正 規(guī) 方 程 。68 101 1 1212 1 2111,1ppn p pnnxbxyxbxyX Y Bxbxy? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?引 入 矩 陣 ： ，1111 1 2 1 1 22112 11 1 1 111pnpp p n p n pnxxx x x xxXXx x x xx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?因 為1211121i i piiii i i piiiipi p i i piiixxnxx x xxx x x???????????????? ??? ??69 1111 21 1 2121 1 1iiiinip p np nip iiyyxyx x xyXYx x x yxy?????? ?????? ?????? ??? ?????? ?????? ???????????????TTX X B X Y?于 是 正 規(guī) 方 程 的 矩 陣 形 式 為，? ? 1?X X BB X X X Y?????設(shè) 可 逆 ， 則 的 最 小 二 乘 估 計 為 ：0 1 1? ? ?? ... ppy b b x b x p? ? ? ? — — 元 回 歸 方 程 。70 例 6 某公司在各地區(qū)銷售一種特殊化妝品。該公司觀測了15 個城市在某月內(nèi)對該化妝品的銷售量 Y及各地區(qū)適合使用該化妝品的人數(shù) X1和人均收入 X2，得到數(shù)據(jù)如下： 表 化妝品銷售的調(diào)查數(shù)據(jù) 地區(qū) i 銷售（箱） Yi 人數(shù)（千人） Xi1 人均收入（元）Xi2 1 162 274 2450 2 120 180 3254 3 223 375 3802 4 131 205 2838 5 67 86 2347 6 169 265 3782 7 81 98 3008 71 地區(qū) i 銷售（箱） Yi 人數(shù)（千人） Xi1 人均收入 （元） Xi2 8 192 330 2450 9 116 195 2137 10 55 53 2560 11 252 430 4020 12 232 372 4427 13 144 236 2660 14 103 157 2088 15 212 370 2605 化妝品銷售的調(diào)查數(shù)據(jù)（續(xù)） 72 ? ?20 , ,N ? 12假 設(shè) 誤 差 服 從 正 態(tài) 分 布 試 建 立 Y 與 X ， X之 間 的 線 性 回 歸 方 程 。20 1 1 2 2 , ~ ( 0 , )Y b b x b x N? ? ?? ? ? ?選 取 模 型 ：1 1 6 2 2 7 41 1 2 0 1 8 0...1 1 0 3 1 5 71 2 1 2 3 7 0X?????????????????24503254...20882605Y?????????????????012bBbb???????????44428709661911419181XY????? ???????1 5 2 2 5 9 3 6 2 62 2 5 9 3 9 4 1 0 7 6 4 7 1 0 73 6 2 6 6 4 7 1 0 7 1 0 6 7 6 1 4XX????? ???73 ? ? 1? B X X X Y???????????????正 規(guī) 方 程 的 解 ：12? 3 .4 5 2 6 0 .4 9 6 0 0 .0 0 9 2 .y x x? ? ?于 是 回 歸 方 程 為 ：由回歸方程可知，若固定人均收入不變，則人數(shù)每增加 1千人，銷售量增加 ；若固定人數(shù)不變，收入每增加 1元，銷售量增加 。 多元線性回歸也可以像一元線性回歸一樣，檢驗?zāi)Ｐ偷幕貧w效果是否顯著。所不同的是，在模型的回歸效果顯著的情況下，還要檢驗每個自變量對因變量的效應(yīng)是否顯著，不顯著就要剔除，通常用逐步回歸法可以使回歸方程變得簡潔、明確、顯著。在此基礎(chǔ)上可以對給定點處對應(yīng)的 Y進(jìn)行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測。所有這些都可以通過 SAS軟件實現(xiàn)。 2022/8/17 課件結(jié)束 !