第三章多元正態(tài)分布-資料下載頁
2025-08-01 12:56本頁面
【正文】 2 2 2 1 2 2,k k kp k p k p kk p k k p k? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???x Σ Σ SSx Σ Sx Σ Σ SS11 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1???Σ Σ Σ Σ Σ? ?1 1 2 1 , ,ij k p? ??Σ 1, ,ij k p? ?? ?21 ,kpxx? ??x42 ? 給定 x2時 xi 和 xj的 偏相關(guān)系數(shù) （ partial correlation coefficient） 定義為 其中 。 ? ρij?k+1,?,p度量了剔除 xk+1,?,xp的（線性）影響之后， xi和 xj間相關(guān)關(guān)系的強弱。 ? 對于多元正態(tài)變量 x，由于 Σ11?2也 是條件協(xié)方差矩陣，故此時偏相關(guān)系數(shù)與條件相關(guān)系數(shù)是同一個值，從而 ρij?k+1,?,p同時也度量了在 xk+1,?,xp值給定的條件下 xi和 xj間相關(guān)關(guān)系的強弱。 1 , ,1 , ,1 , , 1 , , 1 ,ij k pij k pii k p jj k pi j k????????? ? ?? ?1 1 2 1 , ,ij k p? ??Σ43 ? 一階偏相關(guān)系數(shù)可直接由相關(guān)系數(shù)算得。設(shè) x1,x2,x3是三個隨機變量，則有 ? (1)ρ12=0并不意味著 ρ12?3=0，反之亦然。 ? (2) ρ12與 ρ12?3未必同號。 ? 此外， ρ12與 ρ12?3之間孰大孰小也沒有必然的結(jié)論。 44 12 13 2312 32213 2313 12 2313 22212 2323 12 1323 12212 13111111? ? ????? ? ????? ? ????????????????? 偏相關(guān)系數(shù)的一般遞推 公式 ： ? 在多元正態(tài)性的假定下， ρij?k+1,?,p的極大似然估計為 其中 。 稱 rij?k+1,?,p為樣本偏相關(guān)系數(shù) 。 45 2 , , , 1 2 , , , 1 2 , ,1 , , 22, 1 2 , , , 1 2 , ,11i j k p i k k p j k k pi j k pi k k p j k k p? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ?????1 , ,1 , ,1 , , 1 , , 1 ,ij k pij k pii k p jj k psr i j kss????? ? ?? ?11 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 , ,ij k ps? ?? ? ?S S S S S? 例 假設(shè)對 16個嬰兒測量了出生體重（盎司）、出生天數(shù)（日）及舒張壓（ mmHg），數(shù)據(jù)見表 。 46 表 16個嬰兒的出生體重、年齡及血壓的數(shù)據(jù) 編號 出生體重（ x1） 出生天數(shù) （ x2） 舒張壓（ x3） 1 135 3 89 2 120 4 90 3 100 3 83 4 105 2 77 5 130 4 92 6 125 5 98 7 125 2 82 8 105 3 85 9 120 5 96 10 90 4 95 11 120 2 80 12 95 3 79 13 120 3 86 14 150 4 97 15 160 3 92 16 125 3 88 在 控制出生天數(shù)后，舒張壓與出生體重的樣本偏相關(guān)系數(shù) 為 在 控制出生體重后，舒張壓與出生天數(shù)的樣本偏相關(guān)系數(shù)為 47 1 06 8 41 1? 06 8 1 70 8 41 1 70 8 1???????R1 3 1 2 3 21 3 2 2 2 2 21 2 3 2 41 1 06 8 70 8 12 11 1 1 06 8 1 70 8r r rrrr? ??? ? ?? ? ? ?23 21 3123 1 2 2 2 221 31 70 8 06 8 41 1 23 11 1 1 06 8 1 41 1r r rrrr? ??? ? ?? ? ? ?167。 和 (n ? 1)S的抽樣分布 ?一、 的抽樣分布 ? *二、 (n ? 1)S的抽樣分布 xx48 一、 的抽樣分布 ? 設(shè) x~Np(μ, Σ), Σ0 ， x1,x2,?,xn是從總體 x中抽取的一個樣本，則 ? （ 多元中心極限定理 ） 設(shè) x1,x2,?,xn是來自總體 x的一個樣本， μ和 Σ存在，則當(dāng) n很大且 n相對于 p也很大時， 1,pN n??????x μ Σx49 ? ? ? ?,nN?x μ Σ0近 似*二、 (n?1)S的抽樣分布 ? 設(shè)隨機矩陣 X=(x1,x2,?,xq)=(xij)： p q， 稱 “ vec”為 拉直運算 。 當(dāng) X′=X時 ，因 xij=xji，故只需取其下三角部分組成一個縮減了的長向量，記作 vech(X)，即 vech(X)= (x11,…, xp1,x22,…, xp2,…, xp?1,p?1,xp,p?1,xpp)′ ? X的分布是指 vec(X)或（當(dāng) X′=X時） vech(X)的 分布 。 ? 拉 直運算將矩陣分布問題轉(zhuǎn)化為了向量分布的 問題。 50 ? ?12v e cq?????????????xxXx? 設(shè)隨機向量 x1,x2,?,xn獨立同分布于 Np(0, Σ)， Σ0， n≥p，則 p階 矩陣 的 分布稱為自由度為 n的（ p階） 威沙特 （Wishart） 分布 ，記作 Wp(n, Σ)。當(dāng) p=1， Σ=σ2=1時，顯然 有 ， 即有 W1(n,1)=χ2(n) 因此 ，威沙特分布是卡方分布在多元場合下的一種推廣。 51 1niii??? ?W x x? ?221niiW x n??? ?威沙特分布 的 性質(zhì) ? (1)設(shè) Wi~Wp(ni, Σ)， i=1,2,?,k，且相互獨立，則 W1+W2+?+Wk~Wp(n1+n2+?+nk, Σ) ? (2)設(shè) W~Wp(n, Σ)， C為 q p常數(shù)矩陣，則 CWC′~Wq(n, CΣC′) ? 設(shè) x1,x2,?,xn是取自 Np(μ, Σ)， Σ0的一個樣本， np，則可以證明 ， 和 S相互獨立，且有 (n?1)S~Wp(n?1, Σ) 52
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