第三章多元正態(tài)分布-在線瀏覽
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【正文】 ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??x μ Σ? ?? ?12212221 1 1 1 2 2 2 221 1 2 21,211e x p 221f x xx x x x? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????3 二元正態(tài)分布的密度曲面圖 ? 下圖是當(dāng) 時二元正態(tài)分布的鐘形密度曲面圖。 7 167。 ? (2) 。 ? (3)設(shè) x~Np (μ, Σ)， y=Cx+b， 其中 C為 r p 常數(shù)矩陣，則 ? 該性質(zhì)表明，（多元）正態(tài)變量的任何線性變換仍為（多元）正態(tài)變量。 ? 該性質(zhì)說明了多元正態(tài)分布的任何邊緣分布仍為（多元）正態(tài)分布。 反例 ： 習(xí)題 。 這是因為： x1,x2,?,xn均為一元正態(tài)變量 ?(?)x1,x2,?,xn的聯(lián)合分布為多元正態(tài)分布 ?x1,x2,?,xn的一切線性組合是一元正態(tài)變量 ? 例 設(shè) x~N4(μ, Σ)，這里 1 1 1 2 1 3 1 4112 1 2 2 2 3 2 4223 1 3 2 3 3 3 4334 1 4 2 4 3 4 444,xxxx? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??x μ Σ10 則 (i) ； (ii) ； (iii) 。 ? (6)設(shè) x~Np(μ, Σ)，對 x, μ, Σ(0)作如下的剖分： 21 1 1,n n ni i p i i i ii i ik N k k? ? ???????? ? ?x μ Σ1 1 1 1 1 22 2 2 1 2 2,k k kp k p k p kk p k? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??x μ Σ Σx μ Σx μ Σ Σ12 則子向量 x1和 x2相互獨立，當(dāng)且僅當(dāng) Σ12=0。 ? 例 設(shè) x~N3(μ,Σ)，其中 則 x2和 x3不獨立， x1和 (x2,x3)獨立。2和 Σ112通常稱為 偏協(xié)方差矩陣 。 ? 例 設(shè) x~N3(μ, Σ)，其中 試求給定 x1+2x3時 的條件分布。 極大似然估計及估計量的性質(zhì) ? 簡單隨機(jī)樣本 （簡稱 樣本 ）： 滿足 ： x1,x2,?,xn獨立，且與總體分布相同 。 ? 數(shù)據(jù) 矩陣 或 觀測值 矩陣 ： ? 一、極大似然估計 ? 二、估計量的性質(zhì) 18 11 12 1121 22 2212ppn n npnx x xx x xx x x? ???????? ??????????? ??? ??xxXx一、極大似然估計 ? 1. μ和 Σ的極大似然估計 ? 19 Σ的 極大似然估計 ? 似然函數(shù) ： 是樣本聯(lián)合概率密度 f (x1,x2,?,xn)的任意正常數(shù)倍， 記為 L(μ, Σ)。 ? ? ? ?? ?222,221? ?, m a x ,1? ?,niiLLx x xn??? ? ? ?????? ? ??? ? ? ?,?? , m a x ,11?? ,LLnnn??? ? ?μ Σμ Σ μ Σμ x Σ ASx? ? ? ?1niii ??? ? ??A x x x x21 11n? ?SA ? 相關(guān)系數(shù) ρij的極大似然估計為 其中 。 12211( ) ( )?? ?( ) ( )nk i i k j jij ij kijnnii jj ii jjk i i k j jkkx x x xsrssx x x x????????? ? ??????? ? ? ? ? ?12? ? , , , , ,i j i j ps x x x? ?? ? ?Σ Sx? ?? ijr?R22 二、估計量的性質(zhì) ? ? ? ? 23 ? 如果 ，則稱估計量 是被估參數(shù) θ的一個 無偏估計 ，否則就稱為 有偏的 。 ? ， 是 Σ的有偏估計。 ? ??E ?θ θ ?θ? ?E ?x μ? ? 1? nE n??Σ Σ?Σ24 ? 證明 25 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11111?=1=11 1 1 1niiiniiiniiiniiEEnEnEnnnV nV n nn n n n??????????????? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ?? ? ? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ?????????????Σ x x x xx μ x μ x μ x μx μ x μ x μ x μxx Σ Σ Σ ? 設(shè) 是 θ的一個無偏估計，若 對 θ的 任一 無偏估計 有 即 為 非負(fù)定矩陣，則 稱 為 θ的 一致最優(yōu)無偏估計 。 26 ?θ θ? ? ? ??VV ??θ θ θ Θ，? ? ? ??VVθ θ ?θx ? 如果未知參數(shù) θ（ 可以是一個向量或矩陣 ） 的估計量 隨著樣本容量 n的不
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