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113導數(shù)的幾何意義-資料下載頁

2025-07-21 21:55本頁面
  

【正文】 解 ] 因為 Δ y = f (1 + Δ x ) - f ( 1 ) = (1 + Δ x )3- 1 = ( Δ x )3+ 3( Δ x )2+ 3 Δ x , 所以Δ yΔ x=( Δ x )3+ 3 ( Δ x )2+ 3 Δ xΔ x= ( Δ x )2+ 3 Δ x + 3 , Δ yΔ x= 3 ,即 f ′( 1 ) = 3. 所以所求切線的方程為 y - 1 = 3( x - 1) ,即 3 x - y - 2 = 0. 求切線方程時,一定要注意是求過某一點的切線方程還是求在某點處的切線方程.前者可能會有多個結果,而后者通常只有一個結 果. 例如,如圖所示的圖像, l 1 , l 2 , l 3 都是過點 P 的切線,其中 l 3 是在點 P 處的切線.過曲線上一點的切線和在某一點處的切線是兩個不同的概念. [ 正解 ] 設切線與曲線的切點為 ( x0, x30) , 則Δ yΔ x=f ( x0+ Δ x )- f ( x0)Δ x =( Δ x )3+ 3 x0( Δ x )2+ 3 x20Δ xΔ x = ( Δ x )2+ 3 x0Δ x + 3 x20. Δ yΔ x= 3 x20,即 f ′( x0) = 3 x20. 故切線方程為 y - x30= 3 x20( x - x0) ,而該切線過點 (1 , 1) ,所以 1- x30= 3 x20(1 - x0) ,解得 x0= 1 或 x0=-12, 所以切線方程為 y - 1 = 3( x - 1) 或 y +18=34????????x +12,即 3 x - y - 2= 0 或 3 x - 4 y + 1 = 0. 布置作業(yè) P1011 習題 A組 6題, B組 3題
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