方程組的誤差估計-資料下載頁
2025-07-19 18:42本頁面
【正文】 其中 r=b A 為剩余向量。 1 || || ()|| ||x x rAA r c o n d Ax b b?? ? ? ?第四章方程組的直接解法 方程組直接解法的穩(wěn)定性是應(yīng)當(dāng)注重的問題。如果通過直接計算每一步設(shè)入誤差對解的影響來獲得近似解的誤差界，那將是非常困難的 。“向后誤差分析法”，其基本思想是把計算過程中設(shè)入誤差對解的影響歸結(jié)為原始數(shù)據(jù)對解的影響。下面給出一個定理來說明這方面的結(jié)果。 然而，再實際計算時，方程組（ ）不大可能求解，所以解（ ）只能提供有限的修正。因此，需要反復(fù)求解為（ ）的方程組，不斷對所得的近似解進(jìn)行改進(jìn)。這種近似值逐進(jìn)接近真解的過程稱為迭代解法。為了節(jié)省計算量，可事先對矩陣 A進(jìn)行 LU分解，把反復(fù)解形為（ ）的方程組改為反復(fù)解形為 Ly=r， U△ x=y 的方程組。為了保證計算精度，計算剩余向量 r可采用高精度計算。 定理 設(shè) A∈ Rn n ， A為非奇異矩陣，用列主元法或全主元法解方程組 x~? ? ? ?kijkijnji aAa ,/m a x,1 ?????Ax=b ，其計算解 滿足 。記計算機尾數(shù)字長 是消去過程中 A(k)中的元 為 t，且 n2t ≦ 。 素，則有 ? ? ~A A x b???第四章方程組的直接解法 該定理說明，矩陣 A的階數(shù)越高條件數(shù)越大矩陣元素的增長因子 越大和計算機字長越短，則舍入誤差對解的影響越嚴(yán)重。因此計算精度取決于矩陣的規(guī)模、方程組的性態(tài)、所選取的算法和計算機字長。 UL~,~tAnEEAUL??? ???2,~~2? （ 1）若 A的 LU分解計算結(jié)果為 ,則有 （ 2） ? ? tAnnA ??? ?? 23??? ?? ?tnnAA Aco n dx xx ??????? ???? 1)(~ 231 ??（ 3）計算解有精度估計：
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