lecture-2近世代數(shù)-資料下載頁
2025-07-17 15:09本頁面
【正文】 321 hheh ?3121111 hghgghg ?3222212 hghgghg ?3323313 hghgghg ?子群 H 左陪集 左陪集 左陪集 陪集首 29 陪集 定義 ? H是群 G的一個子群， g是 G中的任意一個元素，將 g左 (右 )乘 H中的每一個元素，得到一個集合，記為 gH (Hg)，該集合為子群 H的一個左 (右 )陪集， g為該陪集的陪集首。在 Abel群中， hg=gh，左陪集等于右陪集 例： ? 對整數(shù)全體，以 m為倍數(shù)的整數(shù)全體是一個子群，可按此子群對全體整數(shù)劃分陪集 性質(zhì) ? 有限群 G可以按子群 H劃分成有限個互不相交的陪集，且各陪集都具有相同的元素個數(shù)，即等于子群 H的階。 ? 若按 H劃分得到 j個陪集，則集合 G中的所有元素都包括在其中，無一遺漏。即 N=jn， N， n分別為 G和 H的階。 ? 例如 m=9的剩余類全體對模 9加法運算構(gòu)成一個群，而 是它的一個子群，以此子群劃分陪集 H: 。 1+H: 。 2+H: 0, 3, 60, 3, 61, 4, 7 2, 5, 830 陪集 找出 C12={e, g, …, g11}關(guān)于 H={e, g4, g8}的所有右陪集。 ?He=H，取 g∈ C12 ，但 g!∈ H， Hg={g, g5, g9}。由于H∪ Hg≠ C12，所以再取不屬于 H∪ Hg的 C12元素，如g2，則 Hg2={g2, g6, g10}，由于 H∪ Hg ∪ Hg2 ≠ C12，再取不屬于 H∪ Hg ∪ Hg2 的元素 g3，則 Hg3={g3, g7, g11}。 H∪ Hg ∪ Hg2 ∪ Hg3= C12 于是 C12關(guān)于 H的所有右陪集為 H， Hg， Hg2， Hg3 。 31 正規(guī)子群 定義 ? 設(shè) H是 G的一個子群，若對每一個 a∈ G，恒有 aH＝ Ha，則稱 H是G的一個 正規(guī)子群 或 不變子群 ? Abel群的每一個子群都是正規(guī)子群 H是 G的一個正規(guī)子群的充要條件 ? 對每一個 a∈ G，恒有 a1ha ∈ H, h∈ H 若 H是 G的正規(guī)子群，則 H的全體陪集必構(gòu)成群。 ? M是以 m的一切倍數(shù)所構(gòu)成的一個正規(guī)子群。例如 m=3,則全體整數(shù)按 3的一切倍數(shù)構(gòu)成的正規(guī)子群，進行如下劃分 ? M的 3個陪集： 關(guān)于剩余類加法構(gòu)成群 商群 ? 定義：設(shè) H是 G的正規(guī)子群，于是把 H的全體陪集所構(gòu)成的群成為G關(guān)于 H的商群，記為 G/H。 ? 模 m的剩余類群與商群 Z/M同構(gòu)。 0 , 3 , 0 , 3 , 。 1 1 , 2 , 1 , 4 , 。 2 2 , 1 , 2 , 5 ,M M M? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0, 1, 232 正規(guī)子群 設(shè) H是群 G的子群，且具有性質(zhì)： H的任意兩個左陪集的乘積仍然是一個左陪集。證明： H是 G的一個正規(guī)子群。 ?Proof： 先證：兩個左陪集 aH， bH的乘積 (aH)(bH)為(ab)H。由題設(shè) (aH)(bH)是一個左陪集，記為 cH ，即(aH)(bH)= cH ，但 ab=(ae)(be) ∈ (aH)(bH)，故 ab ∈ cH，于是 cH=(ab)H。 下面證明： H是 G的正規(guī)子群。 任給 h ∈ H， a ∈ G， a1 ha h∈ (a1H)(aH)= (a1a)H=H，于是 a1 ha ∈ H。因 此， H是 G的正規(guī)子群。 QED 33 子格與劃分 子格 ?若格 Λ中的部分格點集合 Λ’ 滿足格的條件，則稱 Λ’為 Λ的 子格 ?例如 RZ2是 Z2的一個子格， R為正交變換矩陣 劃分 ?在格 Λ中，若以 Λ的子格 Λ’ 對 Λ劃分等價類，則稱為按模 Λ’ 對 Λ進行 劃分 （ 分割 ），用 Λ’ ＋ C表示。 ?劃分階數(shù)： ?Λ的陪集分解 ； 如 Z2＝ RZ2 ＋ [RZ2 (10)] 11R11??? ?????/ ???[ / ]??? ? ? ? ? ?Z2及其子格 RZ2 34 Checkerboard Lattice (Dn) 定義 生成矩陣 M ? ?1 2 1 2, , , ( , , , ) , T Tn n ix x x v v v v??M35 Gosset Lattice (E8 ) 定義 生成矩陣 M 36 BarnesWall Lattice Λ16 生成矩陣 M 37 Leech Lattice (Λ24
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1