lecture-2近世代數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-13 15:09 本頁面
【文章內容簡介】 給定 G中任意兩個元素 a和 b ，方程 a 。 x = b和 y 。a = b在 G中有唯一解： x = a1 。 b , y = b 。 a1 群 G中消去律成立。即由 a 。 x = a 。 y ?x = y 15 群的相關概念 群的階 (Order of a Group) ? 有限群 (Finite Group)、無限群 (Infinite Group) 加群、乘群 阿貝爾群 (Abelian Group)、可換群、交換群： 滿足交換律 ? 所有 n階 滿秩矩陣 的全體對矩陣乘法構成的群為非阿貝爾群 半群 (Semigroup)(滿足前兩個條件 ) ? 如 正整數(shù) 在加法運算下構成一個半群（無恒等元） 弱群 (Monoid)(滿足前三個條件 ) ? 整數(shù)在乘法運算下構成一個 Monoid（無逆元） 對稱群 (Symmetric Group) ? 由 n個元素構成的集合 A到自身的所有 n!個置換構成的集合在置換運算下構成對稱群。 16 置換群 置換群 (Permutation Group) ?例子： A={1, 2, 3} ?置換群不一定是對稱群；對稱群一定是置換群 ? ? 111 ?? ? ? 221 ?? ? ? 331 ??? ? 212 ?? ? ? 322 ?? ? ? 132 ??? ? 313 ?? ? ?3 21? ? ? ? 233 ??????????? 3213211? ?????????1323212? ?????????2133213?? ?3211 ?? ? ?1322 ?? ? ?2133 ??? ? ? ? ? ?2 3 12 3 1 3 1 2 1 2 3? ? ?? ? ?? ?321 ??? ， 在置換運算下構成置換群 為單位元 23,?? 1?互為逆元 17 置換 3 7 1 9 8 5 0 9 5 7 0 8 1 3 3 8 7 0 1 9 5 φ1=(1, 3, 5, 6, 2, 7, 4) φ2= (4, 6, 2, 7, 5, 3, 1) 18 格（ Lattice） 定義： ?格 (Lattice)—— 是一類加群，集合中的元素是歐氏空間中的離散點，稱為 格點 。 ?例如： n維歐氏空間 Zn中離散點的集合 {(Z1,Z2,…,Z n)。 Zi ∈ Z}在矢量相加和相減運算下構成一整數(shù)格。 幾何性質 ?最小均方距離 : 任意兩個格點之間的最小均方距離 ?格的基本體積 : 每一格點在 n維空間的體積 ?See Lecture 1Slide 18 結構性質 ?標量乘；正交變換；笛卡兒 (Cartesian)積 2min ()d ?Vol( )?19 偏序集 定義：設 P是任一集合， P上的一個二元關系記為“ ≤”，滿足 ?1） 任給 a∈ P, a≤ a（ 反身性 ）； ? 2）任給 a, b∈ P, a≤b并且 b≤a則 a=b （ 反對稱性 ）； ? 3）任給 a, b, c∈ P, a≤b并且 b≤c則 a ≤ c （ 傳遞性 ）。 則稱 ≤是 P的一個偏序關系，具有偏序關系 ≤的集合 P， 稱為 偏序集 ，記為（ P, ≤ ）。 例：設 P={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}, 如果偏序關系 ≤為整除關系，那么 (P, ≤)的偏序集合如下圖 1 3 9 18 6 12 24 8 4 2 20 格（ Lattice） (alternative)設 (L, ≤)是一個 偏序集 ，如果 L中 任意兩個元素均有最小上界與最大下界 ，則稱 L關于偏序集 ≤作成一個格。 偏序集 格 00 01 10 11 21 環(huán)的定義 非空集合 R中，若定義了兩種代數(shù)運算 加 和 乘 ，且滿足： ?1) 集合 R在 加法 運算下構成 阿貝爾群 ?2) 乘法有 封閉性 ?3) 乘法 結合律 成立，且加和乘之間有分配律 環(huán)＝ 阿貝爾加群＋乘法半群 例子 ?全體整數(shù)；全體偶數(shù)；實系數(shù)多項式全體均構成環(huán) ?模整數(shù) m的全體剩余類構成 剩余類環(huán) 相關概念 ?有單位元環(huán)（乘法有單位元） ?交換環(huán)（乘法滿足交換率） 22 環(huán)的相關概念 有零因子環(huán) ?對于環(huán)中的兩個非零元素 a和 b，若它們在環(huán)上定義的乘法運算下為零，即 ab=0，則 a、 b為零因子，對應的環(huán)為有零因子環(huán)。 ?乘法消去率不成立 ?例： Z6： 2 3=6=0(mod 6)。 2 3=0
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