【正文】 好書（Bx）或者能怡情（Px）或者能益智（Qx）；5. 有的博客文章（Bx）既高雅（Gx）又幽默（Yx）；6．犯罪時不滿16歲的人（Mx）和審判時懷孕的婦女（Wx），不適用死刑（Dx）；7．沒有不犯錯誤（Fx）的人（Mx）；8．任何不受外力作用（Fx）的物體（Tx）都保持靜止狀態(tài)（Sx）或勻速直線運動狀態(tài)（Mx）；9．堅定的人（Jx）不達（Dxy）目的（My）誓不罷休（Sx）；10．并非所有的謊言（Hx）都沒有人（Rx）相信（Xxy）；11．所有學生（Sx）總認識（Kxy）有的教師(Tx)；12．有的學生認識所有的教師；13只有北京同學（Bx）才認識張華(a)；14．有的學生（Sx）愛好（Lxy）英語（Ex），也愛好數(shù)學（Mx）。15每一個人(Mx)都稱贊（Cxy）有的人，但并非有人為每一個人所稱贊；三、設L是一個一階語言，謂詞集合是{P，Q，R，S}，其中，P、Q是一元謂詞，R、S是二元謂詞，個體常項集合是{a，b}，判定下列符號串是不是L的公式；如果是公式，寫出該公式形成過程中的所有子公式的集合。1．x(Px→Rxa)；2．$z(Qz∧Sxb)；3．x$x(Px∧$y(Qy∧Sxy)）；4．$y(Qy∧Sxby)；5．x(Px→$y(Qy∧Rxy)）；四、在第三題的公式中，個體變元x、y和z的哪些出現(xiàn)是自由的，哪些出現(xiàn)是約束的？并且，在各公式中有哪些變元是約束變元，有哪些變元是自由變元？五、指出下列形式推演中存在的錯誤：1．有的人是詩人，有的人是教師，所以，有的教師是詩人（論域：人；Px：x是詩人；Tx：x是教師）。（1）$xPx 前提1（2）$xTx 前提2（3）Pα α，(1)，$_（4）Tα α，(2),$_（5）Tα∧Pα α，(3)，(4)，∧+（6）$x(Tx∧Px) (5)，$+2．每個自然數(shù)都不大于它自己，所以，有自然數(shù)不大于所有自然數(shù)（論域：自然數(shù)；Gxy：x大于y）。（1）x216。Gxx 前提1（2）216。Gax (1)，_（3）x216。Gax (2)，+（4）$yx216。Gyx (3)，$+3．xAx→B├x(Ax→B) (x在B中不自由)（1）xAx→B 前提1（2）Ax→B (1)，_(3)x(Ax→B) (2),+六、運用QNP系統(tǒng)的規(guī)則，判定下列公式序列是否QNP系統(tǒng)中的推出關系；如果不是，給出一個解釋說明這個論證前提真而結論假：1．xAx├216。$x216。Ax；2．x(Ax→Bx)├xAx→xBx；3．$x(Ax∨Bx)├$xAx∨$xBx；4．$xAx∧$xBx├$x(Ax∧Bx)；5．x(Sx→Mx)，x(Px→Mx)├ x(Sx∨Px→Mx)；6．x(Mx→Px)，x(Sx→Mx)├ $x(Sx∧Px)。七、構造下列論證的形式證明。如果推不出結論，則用解釋的方法證明該論證不具有推出關系：1． 沒有偷懶的人能獲得好成績，所以，所有偷懶的人不能獲得好成績。2． 并非所有網(wǎng)絡服務商都是可靠的，所以，有的網(wǎng)絡服務商不是可靠的。3． 所有大學生都是在大學讀書的，有的青年是在大學讀書的，所以，有的青年是大學生。4． 任何思想僵化的人都不符合時代要求，任何不求進取的人都不符合時代要求，所以，任何思想僵化或不求進取的人都不符合時代要求。5． 所有既勤奮（Ax）又刻苦的（Wx）人都能獲得很大成就（Sx），小李(a)是自學成才的青年（Lx），小李既勤奮又刻苦，所以，有的自學成才的青年能獲得很大成就。6． 如果有人可以凌駕于法律之上（Qx），那么，這個社會就不是法治社會（B），所以，任何人如果可以凌駕于法律之上，那么，這個社會就不是法治社會。7． 假如老虎（Tx）不吃人（Jx），那么，它就不是老虎了，所以，沒有不吃人的老虎。8． 有人（Px）沒有讀過（Rxy）杜甫的詩歌（Qx），所以，杜甫的詩歌總有人沒有讀過。9． 所有進入這座辦公樓的人（Px）都會被監(jiān)視器（Mx）記錄下來（Rxy），任何記錄下小A（a）的監(jiān)視器都能再現(xiàn)（Txy）小A，但沒有監(jiān)視器能再現(xiàn)小A，所以，小A沒有進入這座辦公樓。10． 王紫煙讀過瓊瑤的所有小說，凡是王紫煙讀過的小說，她都能說出主要人物，因此，王紫煙不能說出主要人物的小說，必定不是瓊瑤的小說（a：王紫煙；Rxy：x讀過y；b：瓊瑤；Wxy：x寫y；Nx：x是小說；Pxy：x是y的主要人物；Sxy：x能說出y）。第 五 章 練 習 題 參 考 答 案一、把下列語言表達式分為：（1）個體詞；（2）謂詞；（3）量詞；（4）命題；（5）命題函數(shù)。1．個體詞（個體常項）；2.（一元）謂詞；3.（二元）謂詞；（個體變元）；（個體常項）；6.（存在）量詞；7.（全稱）量詞；；；。二、先確定個體域，再把下列命題符號化，用已指定的字母代替謂詞和個體常項，但個體變元不一定用指定的個體變元。=全域，x（Mx→Gx）(或y(My→Gy)，z（Mz→Gz），…，下同，略)；=全域，$x(Px∧Jx)；=全域，xy(Rx∧My174。Hxy)；=全域，x(Bx→Px∨Qx)；=全域，$x(Bx∧Gx∧Yx)；=(中國)人，x(216。Mx∨Wx→216。Dx)；7. (1)D=全域，216。$x(216。Fx∧Mx)；(2)D=人， 216。$x216。Fx；=全域，x(216。Fx∧Tx→Sx∨Mx)；=XY，X=人，Y=(某特定范圍內(nèi)的)事件，xy(Jx∧My→(216。Dxy→216。Sx))；10.(1)D=全域， 216。x(Hx→216。$y(Ry∧Xxy))；(2)D=自然數(shù), 216。$xyGxy；11.(1)D=（某特定范圍內(nèi)的）師生，x(Sx→$y(Ty∧Kxy))；(2)D=XY，X=（某特定范圍內(nèi)的）學生，Y=（某特定范圍內(nèi)的）教師，x$yKxy；12.(1)D=（某特定范圍內(nèi)的）師生，$x(Sx∧y(Ty→Kxy))；(2)D=XY， X=（某特定范圍內(nèi)的）學生，Y=（某特定范圍內(nèi)的）教師，$xyKxy；13. D=全域，x(216。(Bx∧Sx)→216。Kxa)，或者，x(Kxa→Bx∧Sx)；14. D=全域，$x(Sx∧y(Ey∨My→Lxy))；15.(1)D=全域，x(Mx→$y(Mx∧Cxy))∧216。$y(My∧x(Mx→Cxy))；(2)D=XY,其中,X=Y=（某特定范圍內(nèi)的）人，x$yCxy∧216。$yxCxy；三、設L是一個一階語言，謂詞集合是{P，Q，R，S}，其中，P，Q是一元謂詞，R，S是二元謂詞，個體常項集合是{a,b}，判定以下符號串是不是L的公式；如果是公式，寫出該公式形成過程中的所有子公式的集合。1.x(Px→Rxa)是公式，其子公式的集合為{Px,Rxa,Px→Rxa,x(Px→Rxa)}；2.$z(Qz∧Sxb)是公式，其子公式的集合為{Qz,Sxb,Qz∧Sxb,$z(Qz∧Sxb)}；3.x$x(Px∧$y(Qy∧Sxy))是公式，其子公式的集合為{Qy,Sxy,Qy∧Sxy,$y(Qy∧Sxy),Px,Px∧$y(Qy∧Sxy),$x(Px∧$y(Qy∧Sxy)),x$x(Px∧$y(Qy∧Sxy))}；4.$y(Qy∧Sxby)不是公式，因為S是二元謂詞，其后只能有兩個個體詞，而Sxby有三個個體詞，不符合形成規(guī)則；5.x(Px→$y(Qy∧Rxy))是公式，其子公式的集合是{Qy,Rxy,Qx∧Rxy，$y(Qy∧Rxy),Px,Px→$y(Qy∧Rxy),x(Px→$y(Qy∧Rxy))}。四、在第三題的公式中，個體變元x、y和z的哪些出現(xiàn)是自由的，哪些出現(xiàn)是約束的，并且，在各公式中有哪些變元是約束變元，有哪些變元是自由變元？x(Px→Rxa)中，x的三次出現(xiàn)都是約束的，x是該公式的約束變元；$z(Qz∧Sxb)中，x的一次出現(xiàn)是自由的，z的兩次出現(xiàn)是約束的，在該公式中，x是自由變元，z是約束變元；x$x(Px∧$y(Qy∧Sxy)中，x的四次出現(xiàn)是約束的，y的三次出現(xiàn)是約束的，x和y都是該公式的約束變元；4．該符號串不是公式；x(Px→$y(Qy∧Rxy))中，x的三次出現(xiàn)是約束的，y的三次出現(xiàn)是約束的，x和y都是該公式的約束變元。五、指出下列形式推演中存在的錯誤。1.$xPx,$xTx ? $x(Tx∧Px)：(1)$xPx A1(2)$xTx A2(3) Pα α,(1),$_(4) Tα α,(2),$_(5) Tα∧Pα α,(3),(4),∧+(6)$x(Tx∧Px) (5),$+在這個形式推演中，第（4）行的公式中“新名”α是用$_從第（2）行的公式推出的，但是，α已在用$_從第（1）行的公式推出第（3）行的公式時出現(xiàn)過了，違反了$_的限制：不確定個體的名稱須是在推理時在前的公式中沒有出現(xiàn)過的新名，因此，推理不正確。2. x216。Gxx ? $yx216。Gyx：(1) x216。Gxx A1(2) 216。Gax (1), _(3) x216。Gax (2),+(4)$yx216。Gyx (3),$+在這個形式推演中，第（2）行的公式是用_從第（1）行推出的。但是，_要求從vA推出A（v/t）時，必須以個體詞t（這里是個體常項a）代替A中個體詞v的每一出現(xiàn)，否則，就會改變原公式中量詞的約束關系，出現(xiàn)“盲目代換”的錯誤。而由（1）用_推出（2），犯的錯誤正是盲目代換。3. xAx→B ?QNPx(Ax→B)(x在B中不自由)（1）xAx→B A1（2）Ax→B （1），_（3）x(Ax→B) （1），+在這個形式推演中，第（1）行公式中的x的轄域并非整個公式，因此，它不是一個全稱公式，不能運用關于全稱量詞的推理規(guī)則_從（1）推出（2）。六、運用QNP系統(tǒng)的規(guī)則，判定下列公式序列是否QNP系統(tǒng)中的推出關系；如果不是，給出語義解釋，說明這個論證前提真而結論假。1. xAx├216。$x216。Ax：(1)xAx A1(2)216。216。$x216。Ax H1(216。_的假設)(3)$x216。Ax(2), (2),216。216。_ (4)216。Aα α,(3), $_(5) Aα (1), _(6) Aα∧216。Aα a (4),(5),∧+(7) 216。$x216。Ax(2),(6), 216。_(消去H1)因此，xAx├QNP216。$x216。Ax。2. x(Ax→Bx)├xAx→xBx：(1)x(Ax→Bx) A1(2) xAx H1(→+的假設)(3) Ax→Bx (1)，_(4) Ax (2)，_(5) Bx (3),(4),→_(6)xBx (5), +(7)xAx→xBx (2),(6),→+(消去H1)因此，x(Ax→Bx)├QNPxAx→xBx。3. $x(Ax∨Bx)├$xAx∨$xBx：(1)$x(Ax∨Bx) A1(2)216。$xAx H1(→+的假設)(3)x216。Ax (2),.(4) Aα∨Bα α,(1), $_(5)216。Aα (3), _(6) Bα (4),(5),∨_(7)$xBx (6),$+(8)216。$xAx→$xBx (2),(7),→+(消去H1)(9)$xAx∨$xBx (８),.因此，$x(Ax∨Bx)├QNP$xAx∨$xBx。4. $xAx∧$xBx ?$x(Ax∧Bx)此公式序列不是QNP系統(tǒng)中的推出關系：$xAx∧$xBx QNP$x(Ax∧Bx)取模型M使得個體域D是自然數(shù)，一元謂詞A和B分別解釋為“是偶數(shù)”和“是奇數(shù)”。取d=2，我們有：存在d∈D，“2是偶數(shù)”為真，因此，“有自然數(shù)（例如2）是偶數(shù)”為真；取d=3,我們有：存在d∈D，“3是奇數(shù)”為真，因此，“有自然數(shù)（例如3）是奇數(shù)”為真；從而前提“有的自然數(shù)是偶數(shù)，并且，有的自然數(shù)是奇數(shù)”為真。但是，任給d∈D，由于“d是偶數(shù)”和“d是奇數(shù)”在自然數(shù)中不能同時成立，因此，結論“有的自然數(shù)既是偶數(shù)又是奇數(shù)”為假。因此，這個推理的前提和結論不具有推出關系。5．x(Sx→Mx)，x(Px→Mx)├ x(Sx∨Px→Mx)；(1) x(Sx→Mx) A1(2) x(Px→Mx) A2(3)Sx∨Px x,H1(→+的假設)(4) Sx→Mx (1),_(5) P