【正文】 所以也是對(duì)稱矩陣.設(shè)的特征值為，則的特征值為因?yàn)闉檎ň仃嚕?，故，從而知也是正定矩?：（1）.解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型的三個(gè)順序主子式，所以二次型是正定的.（2）.解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型的三個(gè)順序主子式，所以二次型是負(fù)定的.（3）.解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型的四個(gè)順序主子式所以二次型是不定的.（4）.解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型的四個(gè)順序主子式,所以二次型正定的.（5）．解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型的三個(gè)順序主子式，所以二次型是負(fù)定的.410．求的值，使二次型是正定的．解 二次型的系數(shù)矩陣為，二次型正定的充要條件是它的四個(gè)順序主子式都大于零，即,解聯(lián)立不等式,得，即當(dāng)時(shí)，正定.411．寫出下列二次型的矩陣形式，并求該二次型的秩.（1）.解 二次型的系數(shù)矩陣為,因?yàn)椋栽摱涡偷闹鹊扔?．（2）.解 二次型的系數(shù)矩陣為,因?yàn)?，所以該二次型的秩等于４．補(bǔ)充題B41．設(shè)方陣滿足，證明：的特征值只能是或1．證 因?yàn)榉疥嚌M足，即，所以的特征值滿足，即，所以，的特征值為或．B42．證明：對(duì)稱的正交矩陣的特征值為1或．證 因?yàn)槭钦痪仃嚕裕忠驗(yàn)槭菍?duì)稱矩陣，即，從而的特征值滿足，故的特征值為1或．B43．設(shè)方陣與方陣=相似，求的特征值．解 因?yàn)榉疥嚺c方陣相似，所以方陣與方陣有相同的特征值，所以只須求方陣的特征值即可．由的特征方程，得的特征值為，．B44．設(shè)與相似，求．解 因?yàn)榕c相似，所以,即，解得 ．B45．設(shè)，其中為階單位矩陣，為維列向量，且，試證：（1）為對(duì)稱矩陣；（2）為正交矩陣．證（1） 設(shè)，則,顯然，是對(duì)稱矩陣．從而，所以為對(duì)稱矩陣．證（2） 因?yàn)闉閷?duì)稱矩陣，且，所以，所以為正交矩陣．B46．如果是滿秩矩陣，則是正定矩陣．證 設(shè)元二次型，則,因?yàn)槭菨M秩矩陣，則對(duì)于任意非零向量，都有，設(shè)，則，所以是正定二次型，即是正定矩陣．B47．如果是正定矩陣，則存在滿秩矩陣，使．證 若是正定矩陣，則存在滿秩矩陣，使合同與，即,所以，令，則，其中滿秩．B48．設(shè)為滿秩矩陣，為對(duì)稱矩陣．證明：如果為正定矩陣，則是正定矩陣．證 若為滿秩矩陣，為對(duì)稱矩陣，則,即也是對(duì)稱矩陣．如果為正定矩陣，則二次型對(duì)任意非零向量，有，考慮二次型，因?yàn)槭菨M秩矩陣，則對(duì)于任意非零向量，都有，即對(duì)于任意非零向量，由是正定二次型知，所以是正定二次型，從而是正定矩陣．B49．如果為正定矩陣，證明都是正定矩陣．證 為正定矩陣，從而是實(shí)稱矩陣，即，則故都是實(shí)對(duì)稱矩陣．不妨設(shè)的特征值為，則的特征值為，的特征值為因?yàn)闉檎ň仃?，所以，且，從而，所以都是正定矩陣．B410．設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣為正定的，為任意個(gè)非零的實(shí)數(shù)，則是正定的．證 是階實(shí)對(duì)稱矩陣，所以，則，即也是實(shí)對(duì)稱矩陣．因?yàn)闉檎ň仃嚕瑒t對(duì)任意非零向量，有二次型．設(shè)向量，而為任意個(gè)非零的實(shí)數(shù)，所以對(duì)于向量，有,即二次型為正定二次型，所以是正定的．B411．設(shè)是表示元素全為1的階方陣，設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，令,求的全部特征值和特征向量．解 由的特征方程，故的特征值為．對(duì)特征值，解方程組即，得特征向量，．．．，．對(duì)特征值，解方程組即，得特征向量．而，若的特征值為，從而的特征值為，即，所以的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，．．．，的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為．B412．設(shè)與為同階方陣，（1）若與相似，證明：與有相同的特征值；（2）舉例說(shuō)明，上述命題的逆命題不成立；（3）若與均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則（1）的逆命題成立．證（1） 若與相似，則存在可逆矩陣，有，所以,即與有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值．解（2） 例如，與有相同的特征值，但與不相似，因?yàn)榕c相似的矩陣只有自身．證（3） 若與均為實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征值，則與都相似于對(duì)角矩陣，即存在可逆矩陣，有，存在可逆矩陣，有，所以，則，即，故存在可逆矩陣，有，即與相似．B413．若階方陣滿足：．（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，可逆；（2）求的逆矩陣．證（1） 由，整理得,即，整理得因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，所以，因此，存在矩陣，使得，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，可逆，且的逆矩陣為．解（2） 由（１）知的逆矩陣為．B414．設(shè)矩陣，已知線性方程組有解，但不惟一，試求： (1)的值；(2)正交矩陣，使為對(duì)角陣．解（1） 對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，因?yàn)榫€性方程組有解，但不惟一，知，所以且，可得．解（2） 由(１)知，矩陣由特征方程，得的特征值為．對(duì)于，解方程組，即，得屬于特征值的一個(gè)特征向量，將標(biāo)準(zhǔn)化，得.對(duì)于，解方程組，即，得屬于特征值的一個(gè)特征向量，將標(biāo)準(zhǔn)化，得.對(duì)于，解方程組，即，得屬于特征值的一個(gè)特征向量，將標(biāo)準(zhǔn)化，得.所以存在正交矩陣，使．B415．設(shè)階實(shí)對(duì)稱陣的特征值為，且是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，記，為階單位矩陣．(1)驗(yàn)證是的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；(2)求矩陣．解（1） 因?yàn)?，所以的特征值為，其中為的特征值．又因?yàn)榈奶卣髦禐椋缘奶卣髦禐椋ㄖ馗驗(yàn)槭堑膶儆谔卣髦档囊粋€(gè)特征向量，所以是的屬于特征值的特征向量.下面先求的屬于特征值的特征向量，因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，的屬于不同特征值的特征向量是正交的，不妨設(shè)的屬于特征值的特征向量為，則有,即,解得，,所以分別為的屬于特征值的特征向量，從而也是的屬于特征值的特征向量．綜上可知，的屬于的特征向量是， 屬于的特征向量是，．解（2） 因?yàn)橛校硞€(gè)正交的特征向量，所以存在正交矩陣，使,從而．易得，所以.，矩陣，其中為實(shí)數(shù)，為單位矩陣．求對(duì)角陣，使與相似，并求為何值時(shí)，為正定矩陣．解 由的特征方程，得特征值.記對(duì)角矩陣，因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣，使得，所以，于是 ，由此可得 .顯然，當(dāng)且時(shí)，的全部特征值均為正數(shù)，這時(shí)為正定矩陣.B417. 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱陣，秩，是中的代數(shù)余子式，二次型 ．記，把寫成矩陣形式，并證明二次型的矩陣為．解 因?yàn)槎涡? ，所以的系數(shù)矩陣為，即,又因?yàn)闉殡A實(shí)對(duì)稱陣，所以，故上式為，所以，即二次型的矩陣為．66