競(jìng)賽輔導(dǎo)講義(幾何)-資料下載頁(yè)
2025-06-27 06:07本頁(yè)面
【正文】 BDC, 從而得 ，故 .由得延長(zhǎng)CB到D, 使BD = AB = c, 則CD = 在ΔABC和ΔDAC中, ， 又∠C公用, ∴ΔABC∽ΔDAC, 從而∠BAC = ∠D = ∠BAD, ∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠D = 2∠BAC. 延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T, 設(shè)MB的中點(diǎn)為O, 連結(jié)TO, 則ΔBAM∽ΔTOB. 所以, 即 , 在直角三角形BAM中, 又, 所以，解得 , 從而 , 所以 .過作MN∥AD，分別交CD、AB于M、N，設(shè)交CD于K，則，所以 ，又Rt≌Rt，所以＝，則∽，.2圓例題講練例1 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點(diǎn)P在線段AD上, 求滿足條件∠BPC＝的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).BCDAOH解: 因?yàn)锳B +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位線等于腰BC的一半, 故以BC為直徑的圓與AD的一個(gè)交點(diǎn)恰為AD的中點(diǎn), 即AD的中點(diǎn)對(duì)BC張成的角為直角. 又在AD上取點(diǎn)Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ΔABQ和ΔDCQ都是等腰三角形, 知Q對(duì)BC成角. 注意到以BC為直徑的圓與AD至多有兩個(gè)交點(diǎn), 可知所求的點(diǎn)數(shù)為2 . 例2 已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O, 對(duì)角線AC是直徑, AC與BD相交于點(diǎn)P, AB = BD, 且PC = , 求四邊形ABCD的周長(zhǎng). 解: 連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AD于H, 因?yàn)锳B = BD, O是圓心, 所以BH⊥AD, 又因?yàn)椤螦DC＝, 所以BH∥CD, 從而 ΔOPB∽ΔCPD， 故 CD = 1于是 ， 又 所以 ，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為.ABCDEFG例3 設(shè)ΔABC是直角三角形, 點(diǎn)D在斜邊BC上, BD = 4DC, 已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F, 與AB相切于AB的中點(diǎn)G，求證: AD⊥BF. 證明: 過D作DE⊥AC于E, 則，∵， 即 ∴，故ΔBAF∽ΔAED ∠ABF＝∠DAE, 而∠EAD +∠DAB = ，∴∠ABF +∠DAB = , 故 AD⊥BF.APBCSTH例4 如圖, 已知P是⊙O外一點(diǎn), PS、PT是⊙O的兩條切線, 過點(diǎn)P作⊙O的割線PAB,交⊙O于A、B兩點(diǎn), 與ST交于點(diǎn)C, 求證：證明：過P作PH⊥ST，則H是ST的中點(diǎn)，又∴, ∴O1ACDBO2例5 圓與圓外切于點(diǎn)A,兩圓的一條外公切線與圓相切于點(diǎn)B, 若AB與兩圓的另一條外公切線平行, 求圓與圓的半徑之比. 解: 由AB∥CD, 且C⊥CD, ∴C⊥AB.于是, 由對(duì)稱性知，從而 ，∴，∴，∴: = 1: 3思考練習(xí)點(diǎn)A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓的切線，B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，求ΔABC的面積.已知ABCD是一個(gè)半徑為R的圓內(nèi)接四邊形, AB＝12, CD＝6, 分別延長(zhǎng)AB和DC, 它們交于P, 且BP＝8, ∠APD＝, 求R.如果20個(gè)點(diǎn)將某圓周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20 個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形的個(gè)數(shù)有多少個(gè).ABCDE在ΔABC中, ∠B = , ∠ACB = , ∠CAB的平分線交BC于M, ΔABC的外接圓的切線AN交BC的延長(zhǎng)線于N, 求ΔANM的最小內(nèi)角.如圖，在平行四邊形中，過A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于E，且與CD相切，若AB = 4，BE = 5，求DE的長(zhǎng)．OPEFABDM如圖，設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于E、F, 交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)O, P是以O(shè)為圓心，OM為半徑的圓上一點(diǎn)，求證：∠OPF＝∠OEP.PABCDEFQ圓內(nèi)接六邊形ABCDEF中，AB =CD = EF，且對(duì)角線AD、BE、CF相交于點(diǎn)Q，AD與CE的交點(diǎn)為P.（1）求證：（2）求證：.已知半徑分別為1和2的兩個(gè)圓外切于點(diǎn)P, 求點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離. 答案提示 連結(jié)OB、OC，由BC∥OA，得，由 OA=2，OB＝1，則，易得ΔOBC為等邊三角形，∴由割線定理, 得 有820＝PC(PC＋6) 解得PC＝10. 連AC,在ΔPAC中, 由PA＝2PC, ∠APC＝,得∠PCA＝, 從而AD是圓的直徑, , ,所以 由條件得∠CAM =∠MAB = , 從而∠AMC =, 又AN為切線, 所以∠NAC = ∠B =, ∠MAN = 于是, , 故ΔANM的最小內(nèi)角為．如圖，易見是等腰梯形，又，，由，得．（1）由AB = CD = EF，得對(duì)應(yīng)弧相等，在ΔQDE和ΔACE中，∠QDE＝∠BEC＋∠CED＝∠BEC＋∠AEB＝∠AEC， ∴∠QDE＝∠ACE，∴ΔQDE∽ΔACE，故．（2）易見DE∥CF，得ΔCPQ ∽ ΔEPD，∴，在ΔQDC和ΔDEQ中，∠QED＝∠AEC＝∠CDQ， ∠DQE＝∠DQF－∠EQF＝∠QDC＋∠QCD－∠DEQ＝∠QCD，∴ΔQDC∽ΔDEQ， ∴， ∴，∴．MNO1111PQHKO2解: 如圖, MN為⊙與⊙的一條公切線, M, N為切點(diǎn), PH⊥MN于H, M = P = 1 , N = P = 2 ,分別取P、NH的中點(diǎn)Q、K, 則QK⊥MN. 得 ， 消去QK, 得.1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來(lái)了。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。
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