【正文】 R，B為最低點，D為最高點．一個質(zhì)量為m的小球以初速度v0沿AB運動，剛好能通過最高點D，則（ ） A．小球質(zhì)量越大，所需初速度v0越大 B．圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大 C．初速度v0與小球質(zhì)量m、軌道半徑R無關(guān) D。小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v0解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=這是剛好通過最高點的條件，根據(jù)機械能守恒，在最低點的速度v0應(yīng)滿足 189。m v02=mg2R＋189。mv2，v0= 答案：B系統(tǒng)機械能守恒問題【例8】如圖,斜面與半徑R=,一個小球從A點斜向上拋,并在半圓最高點D水平進入軌道,然后沿斜面向上,最大高度達到h=10m,求小球拋出的速度和位置.解析:小球從A到D的逆運動為平拋運動,由機械能守恒,平拋初速度vD為mgh—mg2R=189。mvD2。所以A到D的水平距離為由機械能守恒得A點的速度v0為mgh=189。mv02。由于平拋運動的水平速度不變,則VD=V0cosθ,所以,仰角為【例9】如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端相齊，當略有擾動時，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？解析：鐵鏈的一端上升，一端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學物理大綱的要求．但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機械能守恒，這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達式E2=El，和增量表達式ΔEP=一ΔEK分別給出解答，以利于同學分析比較掌握其各自的特點．（1）設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為P，且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)E1=0滑離滑輪時為終態(tài)，重心離參考面距離L/4，EP/=－PLgL/4Ek2=189。Lv2即終態(tài)E2=－PLgL/4＋189。PLv2由機械能守恒定律得E2= E1有 －PLgL/4＋189。PLv2=0，所以v=（2）利用ΔEP=－ΔEK，求解:初態(tài)至終態(tài)重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少－ΔEP= PLgL/4，動能增量ΔEK=189。PLv2，所以v= 點評（1）對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置對物體來說，不是固定不變的，能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關(guān)鍵，順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢能．此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折來求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數(shù)和作為總的重力勢能．至于零勢能參考面可任意選取，但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢能便于表示為宜． （2）此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為一半鐵鏈至另一半下端時重力勢能的減少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解，留給同學們思考．【例10】一根細繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質(zhì)量為M和m的小球，且M=2m，開始時用手握住M，使M與離地高度均為h并處于靜止狀態(tài)．求：（1）當M由靜止釋放下落h高時的速度．（2）設(shè)M落地即靜止運動，求m離地的最大高度。(h遠小于半繩長，繩與滑輪質(zhì)量及各種摩擦均不計)解：在M落地之前，系統(tǒng)機械能守恒(M－m)gh=189。(M+m)v2,M落地之后，m做豎直上拋運動，機械能守恒．有： 189。mv2=mgh/。h/=h/3離地的最大高度為：H=2h+h/=7h/3 167。5 機械能守恒定律的應(yīng)用知識目標一、應(yīng)用機械能守恒定律解題的基本步驟 （1）根據(jù)題意選取研究對象（物體或系統(tǒng)）． （2）明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒． （3）恰當?shù)剡x取零勢面，確定研究對象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機械能． （4）根據(jù)機械能守恒定律的不同表達式列式方程，若選用了增（減）量表達式，（3）就應(yīng)成為確定過程中，動能、勢能在過程中的增減量或各部分機械能在過程中的增減量來列方程進行求解．【例1】如圖5一66所示一質(zhì)量為m的小球，在B點從靜止開始沿半球形容器內(nèi)壁無摩擦地滑下，B點與容器底部A點的高度差為h，容器質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R．求：（1）當容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A時，容器內(nèi)壁對小球的作用力大?。?）當容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A時，小球相對容器的速度大?。? 解析：（1）m下滑只有重力做功，機械能守恒mgh=189。mv2 達底端A，根據(jù)牛頓第二定律T－mg=mv2/R所以T=mg＋2mgh/R=mg（1＋2h/R）（2若容器在光滑水平桌面上，選m和M為研究對象，系統(tǒng)機械能守恒，水平方向上動量守恒 mgh=189。mv2＋189。Mu12，0=mv十Mu1 所以u1=－mv/M 代入得mgh＝189。mv2，所以v=，小球相對容器的速度大小為v/＝v—u1＝v十mv/M 所以v/= 答案：（1）mg（1＋2h/R），（2）規(guī)律方法 機械能守恒定律與圓周運動結(jié)合物體在繩、桿、軌道約束的情況下在豎直平面內(nèi)做圓周運動，往往伴隨著動能，勢能的相互轉(zhuǎn)化，若機械能守恒，即可根據(jù)機械能守恒去求解物體在運動中經(jīng)過某位里時的速度，再結(jié)合圓周運動、牛頓定律可求解相關(guān)的運動學、動力學的量．【例2】如圖1所示．一根長L的細繩，固定在O點，繩另一端系一條質(zhì)量為m的小球．起初將小球拉至水平于A點．求（1）小球從A點由靜止釋放后到達最低點C時的速度．（2）小球擺到最低點時細繩的拉力。解：（1）由機械能守恒有：mgl=189。mvC2。(2) 在最低點，由向心力公式有T－mg=mv2/l。T=3mg?！纠?】在上例中，將小球自水平向下移，使細繩與水平方向成θ=300角，如圖2所示．求小球從A點由靜止釋放后到達最低點C時細繩的拉力． 解：【例4】如圖，長為L的細繩一端拴一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在O點，在O點的正下方某處P點有一釘子，把線拉成水平，由靜止釋放小球，使線碰到釘子后恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動，求P點的位置？解析： 設(shè)繩碰到釘子后恰能繞P點做圓周運動的半徑為r，運動到最高點的速率為V，由機械能守恒定律得：在最高點，由向心力公式有：,【例5】如圖5—69所示，長為l不可伸長的細繩一端系于O點，一端系一質(zhì)量為m的物體，物體自與水平夾角300（繩拉直）由靜止釋放，問物體到達O點正下方處的動能是多少？ 錯解：由機械能守恒定律：mg15l=189。mv2， 所以最低點動能為1．5mgl 分析：小球運動過程是：先由A點自由下落至B．自B點做圓周運動，就在B處繩使其速度改變的瞬間小球的動能減少，下面我們通過運算來說明這個問題．正確解法： vB=，其方向豎直向下，將該速度分解如圖5一70所示 v2＝vcos300=cos300 由B至C的過程中機械能守恒 189。=189。mv 由此得189。mv=5mgl/4答案：5mgl/4 點評：通過例例6兩題，人們會有這種想法：為什么例 5中在速度改變瞬間（B點）有能量損失，而例 6中就沒有能量損失，這其中原因是什么呢？仔細考慮可知：例6中繩的作用力與速度垂直，所以只改變了速度的方向而沒有改變速度的大小，而例5中雖然速度大小發(fā)生了變化（v2＜vB）．由動量定理可知，沿半徑方向繩的拉力T產(chǎn)生的沖量使沿繩方向的動量發(fā)生了變化，即TΔt＝mv1，因此該情況就有能量損失，也就不可用機械能守恒定律． 【例6】如圖所示，在一根長為L的輕桿上的B點和末端C各固定一個質(zhì)量為m的小球，桿可以在豎直面上繞定點A轉(zhuǎn)動，BC=L/3,現(xiàn)將桿拉到水平位置從靜止釋放，求末端小球C擺到最低點時速度的大小和這一過程中BC端對C球所做的功。（桿的質(zhì)量和摩擦不計）解析：B、C兩球系統(tǒng)在下擺的過程中只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒。 由于B、C角速度相同，解得：對于C球,由動能定理得解得桿BC段對C球做功機械能守恒定律的靈活運用【例7】如圖所示，一對雜技演員（都視為質(zhì)點）乘秋千（秋千繩處于水平位置）從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺，當擺到最低點B時，女演員在極短時間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自已剛好能回到高處A 。求男演員落地點C 與O 點的水平距離s。已知男演員質(zhì)量m1，和女演員質(zhì)量m2之比=2,秋千的質(zhì)量不計，秋千的擺長為R , C 點比O 點低5R。解：設(shè)分離前男女演員在秋千最低點B 的速度為v0，由機械能守恒定律(m1+m2)gR=189。 (m1+m2)v02設(shè)剛分離時男演員速度的大小為v1,方向與v0相同；女演員速度的大小為v2，方向與v0相反，由動量守恒，(m1+m2)v0=m1v1－m2v2分離后，男演員做平拋運動，設(shè)男演員從被推出到落在C點所需的時間為t ，根據(jù)題給條件，由運動學規(guī)律4R=gt2 s=v1t根據(jù)題給條件，女演員剛好回到A點，由機械能守恒定律,m2gR=m2v22已知m1/m2=2,由以上各式可得 s=8R【例8】如圖5 4 5所示，長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個正三角形支架，在A處固定質(zhì)量為2m的小球，B處固定質(zhì)量為m的小球．支架懸掛在0點，可繞過O點并與支架所在平面相垂直的固定軸轉(zhuǎn)動．開始時OB與地面相垂直，放手后開始運動，在不計任何阻力的情況下，下列說法正確的是 A. A球到達最低點時速度為零 B. A球機械能減少量等于B球機械能增加量 C. B球向左擺動所能達到的最高位置應(yīng)高于A球開始運動時的高度 ，A球一定能回到起始高度解析:因A處小球質(zhì)量大，所處的位置高，圖中三角形框架處于不穩(wěn)定狀態(tài)，釋放后支架就會向左擺動．擺動過程中只有小球受的重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，選項B正確，若設(shè)支架邊長是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg（L/2）的重力勢能轉(zhuǎn)化為支架的動能，因而此時A球速度不為零，選項A錯．當A球到達最低點時有向左運動的速度，還要繼續(xù)左擺，B球仍要繼續(xù)上升，因此B球能達到的最高位置比A球的最高位置要高，C選項也正確． 167。6 功能問題的綜合應(yīng)用知識目標 一、功能關(guān)系1．能是物體做功的本領(lǐng)．也就是說是做功的根源．功是能量轉(zhuǎn)化的量度．究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，用功來量度，二者有根本的區(qū)別，功是過程量，能是狀態(tài)量．2．我們在處理問題時可以從能量變化來求功，也可以從物體做功的多少來求能量的變化．不同形式的能在轉(zhuǎn)化過程中是守恒的．功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系①合外力對物體所做的功等于物體動能的增量． W合=Ek2一Ek1（動能定理）②只有重力做功（或彈簧的彈力）做功，物體的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，物體的機械能守恒。③重力功是重力勢能變化的量度,即WG=－ΔEP重＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末④彈力功是彈性勢能變化的量度，即：W彈＝一△EP彈＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末⑤除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機械能變化的量度，即：W其他=E末一E初⑥一對滑動摩擦力對系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：fS相＝Q⑦電場力功是電勢能變化的量度，即：WE=qU=一ΔE =(E末一E初）=E初一E末⑧分子力功是分子勢能變化的量度【例1】在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊地疊，需要做多少功？解析：這是一道非常典型變質(zhì)量與做功的題，很多同學不知怎樣列功能關(guān)系式才求出功的大小，我們先畫清楚草圖．根據(jù)功能關(guān)系可知：只要找出磚疊放起來時總增加的能量 ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2 因此，用“功能關(guān)系”解題，關(guān)鍵是分清物理過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，列出這些變化了的能量即可．答案：n（n－1）mgh/2對繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說明，必定有機械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過程中一定有機械能損失。 二、能的轉(zhuǎn)化和守恒 能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，能的總量保持不變。 1．應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路： （1）某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量． （2）某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量．【例2】如圖所示，一輕彈簧一端系在墻上的O點，自由伸長到B點，今將一質(zhì)量m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點，然后釋放，小物體能在水平面上運動到C點靜止，AC距離為S；若將小物體系在彈簧上，在A由靜止釋放，小物體將做阻尼運動到最后靜止，設(shè)小物體通過總路程為l，則下列答案中可能正確的是（ ） A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0 解析：若物體恰好靜止在B．則彈簧原來具有的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應(yīng)有l(wèi)＝S．若物體最后靜止在B點的左側(cè)或右側(cè)時，彈簧仍具有一定的彈性勢能，在這種情況下，物體移動的總路程就會小于S． 答案：BC【例3】圖中，容器A、B各有一個可自由移動的輕活塞，活塞下面是水，上面是大氣．大氣壓恒定，A、B的底部由帶有閥門K的管道相連，整個裝置與外界絕熱，原先，A中水面比B中高，打開閥門，使A中的水逐漸向B中流，最后達到平衡，在這個過程中．（ ） A．大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能增加 B．水克服大氣壓力做功，水的內(nèi)能減少 C．大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能不變 D．大氣壓力對水不做功，水的內(nèi)能增加【解析】由題設(shè)條件可知，打開閥門k，由于水的重力作用水從A流向B中，由于水與器壁間的摩擦作用，振動一段時間最后達到平衡狀態(tài)；A和B中水面靜止在同一高度上，水受到重力、器壁壓力和兩水面上大氣壓