復合函數(shù)知識總結及例題-資料下載頁
2025-06-25 19:44本頁面
【正文】 解析：因為f（x）與g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）＝x 則f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2． ?。▁）＝2x－x2在（0，1）上單調遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調遞減； ?。▁）＝2x－x2在（1，2）上單調遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調遞增． 所以f（2x－x2）的單調遞減區(qū)間為（0，1）． 答案：（0，1） 8．已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（）＝0， 則不等式f（log4x）＞0的解集是______． 解析：因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－． 解得x＞2或0＜x＜． 答案：x＞2或0＜x＜ 三、解答題 9．求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區(qū)間． 解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數(shù)的值域是R＋．因為函數(shù)y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數(shù)y＝（x）在其定義域上是單調遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數(shù)，在［，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）． 10．設函數(shù)f（x）＝＋， ?。?）求函數(shù)f（x）的定義域； ?。?）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并給出證明； （3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f－1（x），問函數(shù)y＝f－1（x）的圖象與x軸有交點嗎?若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由． 解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜． ?。?）令（x）＝，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內是減函數(shù)； ＝－1＋隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內是減函數(shù)． 又y＝lgx在定義域內是增函數(shù)，根據復合單調性可知，y＝是減函數(shù)，所以f（x）＝＋是減函數(shù)． ?。?）因為直接求f（x）的反函數(shù)非常復雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關系求解． 設函數(shù)f（x）的反函數(shù)f－1（x）與工軸的交點為（x0，0）．根據函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關系可知，f（x）與y軸的交點是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函數(shù)y＝f－1（x）的圖象與x軸有交點，交點為（，0）。13
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