【正文】 所得結(jié)果類似于樣條函數(shù)，因此也被稱為平滑樣條。現(xiàn)已知式： (51)當(dāng) r=2 時，式 (51) 可以寫成以下形式： (52)其中是離散數(shù)據(jù)，簡寫成。為了求使 為零的解，可以通過建立上式對 導(dǎo)數(shù)為零的求導(dǎo)方程 (53)樣條函數(shù)的邊界條件一般有三種，對于表面輪廓濾波器， 第一類和第二類邊界條件的使用較少，因為它們需要根據(jù)不同工件給出不同端點的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)，專屬性太強，推廣和使用都十分不便。表面輪廓濾波器通常只采用周期性和自然邊界條件，而不依賴于人為給定的邊界條件。在自然邊界條件下，即： (54)由式 (52)、 (53) 可以推出下式： (55)于是樣條濾波器求解的方程組為： , (56)寫成矩陣形式 (57)其中，I 是單位矩陣；Y 是輸入向量；S 是輸出向量，也就是所求表面中線。據(jù)不同的邊界條件，得出的Q值也不同。其中，自然邊界條件下[9]：周期性邊界條件下： 改進后的濾波器—逼近樣條濾波器平滑樣條濾波器與高斯濾波器一樣具有明確的傳遞函數(shù)，同時它采用矩陣分解算法，從而在最大程度上抑制了輪廓濾波器的邊緣效應(yīng)。但從前面的研究可以看出，平滑樣條濾波器的幅度傳輸特性與高斯濾波器相差較大，作為國際標(biāo)準(zhǔn) ISO16610 和 ISO11562 推薦的濾波器，二者的濾波特性偏差較大不利于表面計量評定與結(jié)果比對。從國際標(biāo)準(zhǔn)的角度來看，統(tǒng)一兩套標(biāo)準(zhǔn)的評定結(jié)果是一個必須要解決的課題。本章提出將逼近樣條濾波器應(yīng)用于表面計量領(lǐng)域，其目的是讓樣條濾波器逼近高斯濾波器的傳遞函數(shù)，并因此能實現(xiàn)二者濾波特性的統(tǒng)一。逼近樣條濾波器，其定義如下 (58)式中 是逼近系數(shù)。在這些不同傳輸特性的濾波器中，有與高斯濾波器濾波效果非常接近的濾波器這個濾波器就被稱為逼近樣條濾波器。將式上離散化： (59)其中一階和二階微分算子 、 分別用差分算子 、近似。要使上式的取值最小，可建立以下方程求解 (510)如前所述，表面輪廓濾波器通常只采用周期性和自然邊界條件，根據(jù)不同的邊界條件，可推導(dǎo)出的樣條濾波器的表述形式也不同。可建立方程組如下： (511)在周期性邊界條件下： (512)寫成矩陣形式： (513)這個矩陣方程就是逼近樣條濾波器的解方程。在周期性邊界條件下：圖 51 逼近樣條濾波器與高斯快速算法濾波中線 B樣條理論B 樣條函數(shù)在多項式樣條函數(shù)的理論分析和實際數(shù)值計算中，都起著極其重要的作用。它具有一系列優(yōu)良的性質(zhì)，很適于用來構(gòu)建濾波器。本章重點論述基于 B 樣條函數(shù)的濾波器構(gòu)建方法及其在表面形貌測量中的應(yīng)用。經(jīng)典 B 樣條濾波器的幅度傳輸特性與平滑樣條濾波器的幅度傳輸特性相同，同時與高斯濾波器的傳輸特性偏差較大，而減小傳輸特性偏差正是本文的一個研究方向。在研究 B 樣條濾波器的過程中，得到了 B 樣條濾波器的三步遞歸差分算法，該算法是目前最快的一種樣條濾波器實現(xiàn)算法。但正因為采用了遞歸算法，在計算中需要假設(shè)邊緣點，所以不可避免地產(chǎn)生了邊緣效應(yīng)。為了克服 B 樣條濾波器遞歸算法的缺陷，本文結(jié)合分?jǐn)?shù)階 B 樣條函數(shù)和改進型 Whittaker 變分法構(gòu)造了新型分?jǐn)?shù)階樣條濾波器。該濾波器采用了 FFT 實現(xiàn)算法，能夠有效地抑制邊緣效應(yīng)，同時保留了較高的計算效率，更重要的是采用 FFT 算法能夠?qū)崿F(xiàn)任意階數(shù)的分?jǐn)?shù)階樣條濾波器。分?jǐn)?shù)階樣條濾波器的階數(shù)可選，并因此具有可調(diào)的傳輸特性，能夠分別實現(xiàn)理想濾波器和高斯濾波器、平滑樣條濾波器等國際標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的濾波特性[10]。 B 樣條函數(shù)具有許多優(yōu)良特性，其一就是遞推特性： (514)第二個特性就是著名的卷積特性，即： (515) 是矩形脈沖函數(shù)，由式上可知階 B 樣條函數(shù)可以分解成 級矩形脈沖的卷積。因為 n級矩形脈沖的卷積隨著階數(shù)n的增加，將逼近高斯濾波器，所以高階B樣條函數(shù)逐漸逼近于高斯函數(shù)。第三個重要特性是微分特性。B 樣條濾波器在截止波長處具有比高斯濾波器更陡峭的傳輸特性。事實上，B 樣條濾波器與平滑樣條濾波器都是由 Whittaker 變分方法導(dǎo)出，其原理是相同的，二者的幅度傳輸特性也相同，只是 B 樣條濾波器利用 B樣條函數(shù)進行插值，并基于 B 樣條函數(shù)的各種特性推導(dǎo)出了不同于平滑濾波器的實現(xiàn)算法。圖 52 B樣條濾波器與高斯濾波器幅度傳輸特性算法如下： 濾波器由兩部分構(gòu)成：和 (516)可以分解成兩個互補因式之積： (517)其中 (518)這里 和 是特征多項式兩個最小共軛復(fù)根的幅值和相角，可建立下面的關(guān)系式： (519)則 (520)整個算法只需要兩級循環(huán)就實現(xiàn)了，結(jié)構(gòu)簡單，計算效率高。 本章小節(jié)本章對樣條濾波器的一些不足做出了改進，主要是兩個方面：濾波結(jié)果不一致和傳輸特性不一致。首先介紹了經(jīng)典的 B 樣條理論，給出了相關(guān)的濾波器算法，而后提出了樣條平滑濾波器和廣義B樣條濾波器。對之前的樣條濾波器的缺點做了很好的改善。 結(jié) 論本文主要對三次樣條濾波器進行了深入細(xì)致的研究，得到了樣條濾波器的實現(xiàn)方法和算法，并通過了一些實驗驗證了該算法的可行性。我開展的主要工作如下：（1）：首先研究了國際標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于表面計量學(xué)規(guī)定的通用濾波器—高斯濾波器。介紹了高斯濾波器的實現(xiàn)方法以及運用高斯濾波建立物件表面中線的方法，同時提出了高斯濾波器有嚴(yán)重的邊緣效應(yīng)問題。（2）：就高斯濾波器有嚴(yán)重的邊緣效應(yīng)問題，再結(jié)合樣條濾波器的優(yōu)良品質(zhì)，提出使用樣條濾波器來替代高斯濾波器，克服其邊緣效應(yīng)。很好的保留了有效數(shù)據(jù)。在研究樣條濾波器的時候，建立了完整的樣條濾波器的理論，實現(xiàn)了樣條濾波器的算法，并將之應(yīng)用到了具體的試驗中，可行。（3）：針對樣條濾波器無明確的傳遞函數(shù)和計算比較復(fù)雜的缺點，提出了樣條濾波器的改進方法。具體從兩個方面入手：濾波結(jié)果不一致和傳輸特性不一致。為此分別提出了平滑樣條濾波器和廣義B樣條濾波器，并對這兩種濾波器的算法做了一定的研究。通過本文的研究，相信在表面計量學(xué)中的樣條濾波器的使用有一定的貢獻和作用。 參考文獻「1] 許景波. 高斯濾波器逼近理論與應(yīng)用研究[J]. 計量學(xué)報. 2007「2] 張韻華，：:1012「3] 張浩，袁怡寶，張峰等. 廣義B樣條濾波器在表面形貌測量中的應(yīng)用[J].光學(xué)精密工程. 2008「4] . A putational approach to edge detection[J]. IEEE Trans. PatternAnal. Machine Intell. 1986「5] 王忠濱，張彥春，[J]. 中國儀器儀表. 2005「6] 袁怡寶 . 表面形貌測量若干基本理論的研究[J] . 哈爾濱工業(yè)大學(xué)博士論文. 1997 「7] 曾文涵，高詠生，謝鐵邦．三維表面粗糙度高斯濾波快速算法[J]．計量學(xué)報．2003「8 袁怡寶，李曉紅． 減小圓度測量中2RC濾波傳輸偏差的新方法[J]． 儀器儀表學(xué)報．2002「9] 陳慶虎, 李柱. 表面粗糙度評定的小波基準(zhǔn)線[J]. 計量學(xué)報. 1998「10] Chen X, Raja J, Simanapalli S. Multiscale analysis of engineering surface.[J]Int J Mach Tools Manufact. 1995 致 謝衷心感謝導(dǎo)師張浩老師對我的精心指導(dǎo)。他的言傳身教將使我終生受益。在這緊張的一學(xué)期的準(zhǔn)備和學(xué)習(xí)中，我學(xué)到了許多關(guān)于高斯濾波器和樣條濾波器的知識。雖然剛開始自己一竅不通，可是通過張浩老師的悉心指導(dǎo)和言傳身教，我漸漸入門，在學(xué)習(xí)中得到了快樂。同時也非常感謝我的同學(xué)謝陽、梁旭偉、張浩林等對我的指導(dǎo)與幫助。