數(shù)列中an及sn的關(guān)系-資料下載頁
2025-06-25 02:18本頁面
【正文】 an}的前n項和Sn＝，n∈N*．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．【解】(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n．又a1＝1滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n．(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n．故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2．11．已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3＝4，{an}的前3項和為7．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：＋＋…＋≤2－．【解】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得q0，且∴∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1．(2)【證明】當(dāng)n＝1時，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1．當(dāng)n≥2時，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)2n－1．∵an＝2n－1，∴當(dāng)n≥2時，bn＝2n－1．∵b1＝1＝21－1滿足bn＝2n－1，∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1(n∈N*)．∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．∴Sn＝n2． ∴當(dāng)n＝1時，＝1＝2－． 當(dāng)n≥2時，＝＜＝－．∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－＝2－．12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；(2)是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．【解】(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*)．當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，故數(shù)列{an}是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列．于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*)．(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)，又S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1．令2n－1＝2 013，得n＝1 007，即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007．1．已知Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【解】(1)由Sn＝a＋an，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4．(2)Sn＝a＋an，①當(dāng)n≥2時，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n．2．在數(shù)列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若對于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和．【解】(1)根據(jù)題意A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列，∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，∴數(shù)列{an}是首項為－5，公差為3的等差數(shù)列，∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8．(2)|an|＝記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn．當(dāng)n≤2時，Sn＝＝－＋n；當(dāng)n≥3時，Sn＝7＋＝－n＋14，綜上，Sn＝3．(2014廣東卷)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an} 的前n 項和為Sn ，且 Sn滿足 S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*．(1)求a1 的值；(2)求數(shù)列{an} 的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n ，有＋＋…＋．【解】(1)由題意知，S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*．令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3(12＋1)＝0，可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又an為正數(shù)，所以a1＝2．(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，則Sn＝n2＋n或Sn＝－3，又?jǐn)?shù)列{an}的各項均為正數(shù)，∴Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n．又a1＝2＝21，所以an＝2n．(3)證明：當(dāng)n＝1時，＝＝＜成立；當(dāng)n≥2時，＝＜＝，∴＋＋…＋＜＋＝＋＜＋＝．所以對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜． 專業(yè)整理分享
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