數(shù)值分析第五版答案(全)-資料下載頁
2025-06-24 21:25本頁面
【正文】 01234設(shè),試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.解 要求三階收斂到的根, 得 故取 即迭代至少三階收斂.,要求計算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.(1)用牛頓法。(2)用弦截法,取。(3)用拋物線法,取.解 ,對(1)取,用牛頓迭代法 計算得,故.(2)取,利用弦截法 得,故取.(3).拋物線法的迭代式為迭代結(jié)果為:已達(dá)四位有效數(shù)字.分別用二分法和牛頓迭代法求的最小正根.解 ,故當(dāng)時,因此,方程的最小正根應(yīng)在內(nèi).記,容易算得,因此[4,]是的有限區(qū)間.對于二分法,計算結(jié)果見表712. 表7120123456789+++++此時.若用牛頓迭代法求解,由于,故取,迭代計算結(jié)果如表713所示. 表713123456所以的最小正根為.研究求的牛頓公式 證明對一切且序列是遞減的.證法一 用數(shù)列的辦法,因由知, 故,.證法二 ,得 利用例79的結(jié)論知,當(dāng)時,單減有下界, 此時,從起,單減有下界,且極限為.對于的牛頓公式,證明 收斂到,這里為的根.證明見例710.1用牛頓迭代法和求重根的牛頓迭代法()和()(書中式(),())計算方程的一個近似根,準(zhǔn)確到,初始值.解 的根為2重根,即 用牛頓法迭代公式為 令,則,迭代到.用求重根的迭代公式(),迭代迭代公式為 取,.若用公式(),則有 將及代入上述迭代公式,得 取,()的相同.1應(yīng)用牛頓迭代法于方程,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂性.解 設(shè),牛頓迭代公式為 當(dāng)。當(dāng)時,因此,對于,當(dāng)時,根據(jù)例79的結(jié)論知, 從起,牛頓序列收斂到.對于,當(dāng)時,., 之后迭代也收斂.當(dāng)時,迭代式變?yōu)? 該迭代對任何均收斂,但收斂速度是線性的.1應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求的迭代公式,并用此公式求的值.解 ,所以牛頓迭代公式有 ,迭代收斂.對于,取,迭代計算,得 故.1應(yīng)用牛頓法于方程和,分別導(dǎo)出求的迭代公式,并求 解 對于,因此牛頓迭代法為 對于,牛頓法公式為 1證明迭代公式 ,求 證明 記,則迭代式為且.由的定義,有 對上式兩端連續(xù)求導(dǎo)三次,得 代依次入上三式,并利用,得 ,迭代公式是求的三階方法且 1用牛頓法解方程組 取.解 記,則 牛頓迭代法為 代入初值,迭代計算,得 第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法解：歐拉法公式為代入上式，計算結(jié)果為 解：改進(jìn)的歐拉法為 將代入上式，得 同理，梯形法公式為 將代入上二式，計算結(jié)果見表9—5表 9—5 改進(jìn)歐拉 梯形法 0．10．20．30．40．50．0055000．0219275000．0501443880．0909306710．144992257 0．0052380950．0214058960．0493672390．0899036920．143722388 可見梯形方法比改進(jìn)的歐拉法精確。證明：梯形公式為 代入上式，得 解得 因?yàn)?，? 對，以h為步長經(jīng)n步運(yùn)算可求得的近似值，故代入上式有 解：令，則有初值問題 對上述問題應(yīng)用歐拉法，取h=,計算公式為 由得 解： 四階經(jīng)典龍格庫塔方法計算公式見式（）。對于問題（1），；對于問題（2）。取h=,分別計算兩問題的近似解見表96。表 96 （1）的解（2）的解證明： ，只要證明即可。而 因此只須將和都在x處展開即可得到余項(xiàng)表達(dá)式： 所以故對任意參數(shù)t，題中方法是二階的。解： 因此，中點(diǎn)公式是二階的。 對模型方程使用中點(diǎn)公式求解，得 易知，當(dāng)時，中點(diǎn)公式絕對穩(wěn)定。特別當(dāng)為實(shí)數(shù)且時，上不等式的解為 8．解： （1）用歐拉法求解題中初值問題，當(dāng)滿足 時絕對穩(wěn)定，即當(dāng)時歐拉法絕對穩(wěn)定。（2）當(dāng)滿足不等時，四階龍格庫塔法絕對穩(wěn)定，也即當(dāng)滿足時絕對穩(wěn)定。（3）對于梯形公式，當(dāng)時，絕對穩(wěn)定，此條件對都成立，即梯形法對無限制。解： 二階阿達(dá)姆斯顯式和隱式方法分別為 將代入上二式，化簡得顯式方法 隱式方法 取，計算結(jié)果如表97所示表 97 顯式 隱式0．40．60．81．00．32670．446790．5454230．6264751 0．329909090．4517438010．5514267460．63298552 可見，隱式方法比顯式方法精確。10．證明：根據(jù)局部截斷誤差的定義知 故方法是二階的，局部截斷誤差的主項(xiàng)為。1解 由局部截斷誤差的定義知 所以當(dāng)時 方法為二階；當(dāng)時 方法為三階。1解： 根據(jù)剛性比的定義，若方程組的矩陣的特征值滿足條件則 稱為剛性比，易知A的兩個特征值為 所以剛性比s=20。 當(dāng)時，數(shù)值穩(wěn)定。因此當(dāng)時才能保證數(shù)值穩(wěn)定。
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