數(shù)值分析第五版答案(全)-全文預(yù)覽
【正文】 計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為又且又即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時(shí)在上積分，得即兩邊同時(shí)在上積分，得即兩連邊同時(shí)在上積分，得即6。證明：柯特斯公式為令，則令，則令，則令，則令，則令，則令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，則故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。求在處的階帕德逼近。解：則 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 4 0 4 8 4 0 4 8 0 16 0 0 0 23，用輾轉(zhuǎn)相除法將化為連分式。解：若，則則則法方程組為從而解得故均方誤差為21。解：按勒讓德多項(xiàng)式展開則從而的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為19。在上求關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式。求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式。與0的偏差最小。假設(shè)在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式？解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取則和是上的2個(gè)輪流為“正”、“負(fù)”的偏差點(diǎn)。證明：若令，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，故得證。解：若，則令，則，且，故又切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。解：令（C為常數(shù)，且）則而這與當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矛盾不能構(gòu)成上的內(nèi)積。若當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減。解：伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2． 當(dāng)時(shí)，求證證明：若，則 3．證明函數(shù)線性無關(guān)證明：若分別取，對上式兩端在上作帶權(quán)的內(nèi)積，得此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩陣，對稱正定非奇異，只有零解a=0。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時(shí)，若節(jié)點(diǎn)為，設(shè)步長為，即在小區(qū)間上 16．求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而17．設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與值，并估計(jì)誤差。 + 得證。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項(xiàng)式 為階多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式依此過程遞推，得是次多項(xiàng)式是常數(shù)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，9．證明證明 得證10．證明證明：由上題結(jié)論可知得證。總誤差界為4．設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：（1） （2） 證明（1） 令若插值節(jié)點(diǎn)為，則函數(shù)的次插值多項(xiàng)式為。解：由表格知，若采用線性插值法計(jì)算即，則 若采用二次插值法計(jì)算時(shí)， 3．給全的函數(shù)表，步長若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界。13．,求的值。11．序列滿足遞推關(guān)系 (n=1,2,…),若（三位有效數(shù)字），計(jì)算到時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？解：又 又 計(jì)算到時(shí)誤差為，這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。7．求方程的兩個(gè)根，使它至少具有4位有效數(shù)字（）。解：設(shè)，則函數(shù)的條件數(shù)為又, 又且為23．下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：, , ,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。解：近似值的相對誤差為而的誤差為進(jìn)而有2．設(shè)的相對誤差為2%，求的相對誤差。若取（5位有效數(shù)字），試問計(jì)算將有多大誤差？解： ……依次代入后，有即，若取, 的誤差限為。解： 當(dāng)增加時(shí)，的絕對誤差增加當(dāng)增加時(shí)，保持不變，則的相對誤差減少。若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則通過計(jì)算后得到的結(jié)果最好。解：則二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為 2．給出的數(shù)值表Xlnx用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值。當(dāng)時(shí)，令取令則當(dāng)時(shí)，線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為又在建立函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5位有效數(shù)字，且，故計(jì)算中有誤差傳播過程。 8．如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且（為正整數(shù)）。13．證明階均差有下列性質(zhì)：（1）若，則（2）若，則證明：（1） 得證。根據(jù)羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在內(nèi)至少有三個(gè)互異零點(diǎn)，依此類推，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。解：在區(qū)間上，令函數(shù)在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為又20．給定數(shù)據(jù)表如下：XjYj試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程組得三次樣條表達(dá)式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達(dá)式為將代入得21．若是三次樣條函數(shù)，證明：若，式中為插值節(jié)點(diǎn)，且，則證明：從而有第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合1． ，給出上的伯恩斯坦多項(xiàng)式及。計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的與：m與n為正整數(shù)，解：若，則在內(nèi)單調(diào)遞增若，則若m與n為正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減。對，定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積。令，試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式，并求。試證明由教材式
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