數值分析第五版答案(全)-全文預覽
【正文】 計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。推導下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即6。證明：柯特斯公式為令，則令，則令，則令，則令，則令，則令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，則故此時，因此，具有3次代數精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。求在處的階帕德逼近。解：則 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 4 0 4 8 4 0 4 8 0 16 0 0 0 23，用輾轉相除法將化為連分式。解：若，則則則法方程組為從而解得故均方誤差為21。解：按勒讓德多項式展開則從而的三次最佳平方逼近多項式為19。在上求關于的最佳平方逼近多項式。求在上的最佳一次逼近多項式。與0的偏差最小。假設在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項式？解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取則和是上的2個輪流為“正”、“負”的偏差點。證明：若令，可得當時，當時，又，故得證。解：若，則令，則，且，故又切比雪夫多項式在區(qū)間上帶權正交，且是在上帶權的正交多項式。解：令（C為常數，且）則而這與當且僅當時，矛盾不能構成上的內積。若當時，在內單調遞減。解：伯恩斯坦多項式為其中當時，當時，2． 當時，求證證明：若，則 3．證明函數線性無關證明：若分別取，對上式兩端在上作帶權的內積，得此方程組的系數矩陣為希爾伯特矩陣，對稱正定非奇異，只有零解a=0。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時，若節(jié)點為，設步長為，即在小區(qū)間上 16．求一個次數不高于4次的多項式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數不高于4的多項式設其中，A為待定常數從而17．設，在上取，按等距節(jié)點求分段線性插值函數，計算各節(jié)點間中點處的與值，并估計誤差。 + 得證。解：函數的展式為其中又是次數為的多項式 為階多項式為階多項式依此過程遞推，得是次多項式是常數當為正整數時，9．證明證明 得證10．證明證明：由上題結論可知得證?？傉`差界為4．設為互異節(jié)點，求證：（1） （2） 證明（1） 令若插值節(jié)點為，則函數的次插值多項式為。解：由表格知，若采用線性插值法計算即，則 若采用二次插值法計算時， 3．給全的函數表，步長若函數表具有5位有效數字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。13．,求的值。11．序列滿足遞推關系 (n=1,2,…),若（三位有效數字），計算到時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？解：又 又 計算到時誤差為，這個計算過程不穩(wěn)定。7．求方程的兩個根，使它至少具有4位有效數字（）。解：設，則函數的條件數為又, 又且為23．下列各數都是經過四舍五入得到的近似數，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數字：, , ,解：是五位有效數字；是二位有效數字；是四位有效數字；是五位有效數字；是二位有效數字。解：近似值的相對誤差為而的誤差為進而有2．設的相對誤差為2%，求的相對誤差。若?。?位有效數字），試問計算將有多大誤差？解： ……依次代入后，有即，若取, 的誤差限為。解： 當增加時，的絕對誤差增加當增加時，保持不變，則的相對誤差減少。若通過計算y值，則若通過計算y值，則若通過計算y值，則通過計算后得到的結果最好。解：則二次拉格朗日插值多項式為 2．給出的數值表Xlnx用線性插值及二次插值計算的近似值。當時，令取令則當時，線性插值多項式為插值余項為又在建立函數表時，表中數據具有5位有效數字，且，故計算中有誤差傳播過程。 8．如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，并且（為正整數）。13．證明階均差有下列性質：（1）若，則（2）若，則證明：（1） 得證。根據羅爾定理，在的兩個零點間至少有一個零點，故在內至少有三個互異零點，依此類推，在內至少有一個零點。解：在區(qū)間上，令函數在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數為誤差為又20．給定數據表如下：XjYj試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程組得三次樣條表達式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達式為將代入得21．若是三次樣條函數，證明：若，式中為插值節(jié)點，且，則證明：從而有第三章 函數逼近與曲線擬合1． ，給出上的伯恩斯坦多項式及。計算下列函數關于的與：m與n為正整數，解：若，則在內單調遞增若，則若m與n為正整數當時,當時,在內單調遞減當時,在內單調遞減。對，定義問它們是否構成內積。令，試證是在上帶權的正交多項式，并求。試證明由教材式
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