【正文】 ,0,...,0）為第i個單位向量.(2)由A的對稱性及消元公式得 == =，I,j=2,…,n 故也對稱. 又 = 其中 顯然非其異,從而對任意的x0,有 X0,(x,AX)=(x, AX)0 (由A的正定性)故正定.又=,而0,故正定. 由矩陣乘法簡單運算即得證. 設有分解 = 由公式 其中,分別是系數(shù)矩陣的主對角線元素及下邊和上邊的次對角線元 從而有 = 故 = =, == =, = 故=1,=,=,=5. 解 (1)設U為上三角陣 =因=，故=.因 +=,故 =,i=n1,n2,1當U為下三角陣時 = 得,=, =,i=2,3,…,n.(2)除法次數(shù)為n,乘法次數(shù)為 1+2+…+(n1)=n(n1)/2故總的乘法次數(shù)為n+n(n1)/2=n(n+1)/2.(3)設U為上三角陣,=S, =得 , i=1,2,…,n =,j=i+1,i+2,…,n。若用復化梯形公式計算積分，問區(qū)間應人多少等分才能使截斷誤差不超過？若改用復化辛普森公式，要達到同樣精度區(qū)間應分多少等分？解：采用復化梯形公式時，余項為又故若，則當對區(qū)間進行等分時，故有因此，將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復化辛普森公式時，余項為又若，則當對區(qū)間進行等分時故有因此，將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又則故 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時，應根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確地成立，但對于m+1次多項式就不準確成立，進行驗證性求解。解：若且，則則法方程組為解得故關于的最佳平方逼近多項式為17。10。函數(shù)線性無關。插值余項為又 由上題結論可知得證。解：，故方程的根應為故 具有5位有效數(shù)字具有5位有效數(shù)字8．當N充分大時，怎樣求？解 設。則9．正方形的邊長大約為了100cm，應怎樣測量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數(shù)為.當時，若,則，才能使其面積誤差不超過10．設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。5設且求證：解：令，以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為 =插值余項為6．在上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數(shù)表的步長h應取多少？解：若插值節(jié)點為和，則分段二次插值多項式的插值余項為設步長為h，即若截斷誤差不超過，則7．若，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進行求解。4。證明切比雪夫多項式滿足微分方程證明：切比雪夫多項式為從而有得證。求函數(shù)在指定區(qū)間上對于的最佳逼近多項式：解：若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且則有則法方程組為從而解得故關于最佳平方逼近多項式為18。（1）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。7。 i=n1,n2,…,1當U為下三角陣時,由 = 得 ,i=1,2,…,n=,i=2,3,…,n。當時,因此,對于,當時,根據(jù)例79的結論知, 從起,牛頓序列收斂到.對于,當時,., 之后迭代也收斂.當時,迭代式變?yōu)? 該迭代對任何均收斂,但收斂速度是線性的.1應用牛頓法于方程,導出求的迭代公式,并用此公式求的值.解 ,所以牛頓迭代公式有 ,迭代收斂.對于,取,迭代計算,得 故.1應用牛頓法于方程和,分別導出求的迭代公式,并求 解 對于,因此牛頓迭代法為 對于,牛頓法公式為 1證明迭代公式 ,求 證明 記,則迭代式為且.由的定義,有 對上式兩端連續(xù)求導三次,得 代依次入上三式,并利用,得 ,迭代公式是求的三階方法且 1用牛頓法解方程組 取.解 記,則 牛頓迭代法為 代入初值,迭代計算,得 第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法解：歐拉法公式為代入上式，計算結果為 解：改進的歐拉法為 將代入上式，得 同理，梯形法公式為 將代入上二式，計算結果見表9—5表 9—5 改進歐拉 梯形法 0．10．20．30．40．50．0055000．0219275000．0501443880．0909306710．144992257 0．0052380950．0214058960．0493672390．0899036920．143722388 可見梯形方法比改進的歐拉法精確。因此當時才能保證數(shù)值穩(wěn)定。對于問題（1），；對于問題（2）。但det(A)=100,故若將A中第一行與第三行交換，則可以分解，且分解唯一。解：采用梯形公式計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。解：按勒讓德多項式展開則從而的三次最佳平方逼近多項式為19。假設在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項式？解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取則和是上的2個輪流為“正”、“負”的偏差點。